Esto se puede hacer mediante el uso de un "zig-zag":
$$\begin{align*}
f\left(\frac{x}{y}\right) &= f\left(\frac{1}{y}\cdot x\right)\\
&= f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot f(x)\\
&= f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot g(x)\\
&= f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot g\left(xy\cdot \frac{1}{y}\right)\\
&= f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot g(xy)\cdot g\left(\frac{1}{y}\right)\\
&= f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot f(xy)\cdot g\left(\frac{1}{y}\right)\\
&= f\left(\frac{1}{y}\cdot xy\right)\cdot g\left(\frac{1}{y}\right)\\
&= f(x)\cdot g\left(\frac{1}{y}\right)\\
&= g(x)\cdot g\left(\frac{1}{y}\right)\\
&= g\left(x \cdot \frac{1}{y}\right)\\
&= g\left(\frac{x}{y}\right).
\end{align*}$$
Esto demuestra, por cierto, que la incrustación $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ es un (no surjective) epimorphism en la categoría de anillos. El argumento no requieren $X$ tener una unidad, o para homomorphisms para asignar la unidad de $\mathbb{Q}$ a la unidad de $X$, incluso cuando se $X$ tiene una unidad.
Añadido. De hecho, el argumento no necesita $f$ $g$ a ser el anillo de homomorphisms, sólo para ser (multiplicativo) semigroup homomorphisms. Por lo $(\mathbb{Z},\cdot)\hookrightarrow (\mathbb{Q},\cdot)$ es un epimorphism en la categoría de semigroups.
El zig-zag es en realidad parte de la caracterización de cuando dos semigroup homomorphisms que ponerse de acuerdo sobre un subsemigroup de acuerdo sobre un elemento:
Isbell del Zigzag Teorema de Semigroups
Deje $S$ ser un semigroup, $D$ un subsemigroup de $S$. Cada par de semigroup homomorphism con el dominio $S$ común y codominio que está de acuerdo en $D$ está de acuerdo en $s$ si y sólo si $s\in D$, o hay una secuencia de factorizations de $s$ de la forma
$$s=a_1d_1=a_1e_1b_1 = a_2d_2b_1 = a_2e_2b_2 = \cdots = a_{n-1}d_{n-1}b_{n-1}=a_nb_{n-1},$$
donde $d_i,e_j\in D$, $a_k,b_{\ell}\in S$, y $d_1=e_1b_1$, $a_{n-1}d_{n-1}=a_n$, y
$$a_ie_i = a_{i+1}d_{i+1},\quad d_{i+1}b_i = e_{i+1}b_{i+1},\qquad\text{for }i=2,3,\ldots,n-2.$$
Una dirección (desde el "zig-zag" ecuaciones para el hecho de que $f$ $g$ está de acuerdo) es muy fácil. Hay una prueba interesante de la otra dirección, en Una breve prueba de Isbell del Zigzag Teorema de P. M. Higgins, Pacific Journal of Mathematics 144 no. 1 (1990), páginas 47-50.
La colección
$$\bigl\{ s\in S\mid \forall T\;\forall f,g\colon S\to T\ ( f|_D=g|_D\rightarrow f(s)=g(s)\;)\bigr\}$$
se llama "el dominio de la $D$$S$". Se puede definir para cualquier categoría de álgebras, aunque en muchas categorías estándar el dominio de una subalgebra siempre es igual a la subalgebra de sí mismo.
La referencia básica es la secuencia de los trabajos de John Isbell:
J. R. Isbell, Epimorphisms y dominios. 1966 Proc. Conf. Categórica Álgebra (La Jolla, Calif., 1965) pp 232-246; Springer-Verlag, MR0209202 (35 #105a) (Nota: la declaración de zig-zag lema de los anillos en este trabajo es incorrecta; la corrección aparece en un artículo posterior).
J. R. Isbell y Juan M. Howie, Epimorphisms y dominios, II. J. Álgebra 6 (1967), pp 7-21, MR0209203 (35 #105b)
J. R. Isbell, Epimorphisms y dominios, III. Amer. J. Math. 90 (1968), pp 1025-1030, MR0237596 (38 #5877)
J. R. Isbell, Epimorphisms y dominios, IV. J. Londres Matemáticas. Soc. La Ser. 2 1 (1969), pp 265-273, MR0257120 (41 #1774)
J. R. Isbell, Epimorphisms y dominios de V. Álgebra Universalis 3 (1973), pp 318-320, MR0349536 (50 #2029)
También hay una buena encuesta realizada por Pedro M. Higgins, Epimorphisms y Amalgamas, Colloq. De matemáticas. 56 (1988) no. 1, pp 1-17, MR0980507 (89m:20083).
