$ z^n = a_n + b_ni $ Demuestra que $ b_{n+2} - 2b_{n+1} + 5b_n = 0 $ (números complejos)

Question

$$ z = 1+2i \ (complex \ number) \\ z^n = a_n + b_ni \ \ \ (a_n, b_n \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*) $$ Demostrar que $ b_{n+2} - 2b_{n+1} + 5b_n = 0$

¿Cómo puedo solucionar esto? Gracias.

EDIT : O, por favor, dígame sus ideas.

Answer 1

$$z^{n+1}=a_{n+1}+ib_{n+1}=zz^n=(1+2i)(a_n+ib_n)=(a_n-2b_n)+i(b_n+2a_n)$$ Así que $$a_{n+1}=a_n-2b_n$$ $$b_{n+1}=b_n+2a_n$$ Similares $$a_{n+2}=a_{n+1}-2b_{n+1}$$ $$b_{n+2}=b_{n+1}+2a_{n+1}$$ Así que $$b_{n+2}-2b_{n+1}+5b_n=(b_{n+1}+2a_{n+1})-2(b_n+2a_n)+5b_n$$ $$=b_n+2a_n+2(a_n-2b_n)-2(b_n+2a_n)+5b_n$$ $$=0$$

Answer 2

Si dejamos que $\Im(z)$ denotan la parte imaginaria de $z$ encontramos que su expresión es igual a $$ \Im(z^{n+2})-2\Im(z^{n-1})+5\Im(z^n)=\Im\left(z^n\left(z^2-2z+5\right)\right). $$ Desde $1+2i$ es una raíz de $z^2-2z+5$ encontramos que esto es igual a $0$ .

Answer 3

Observe, cuando $z\in\mathbb{C}$ y $n\in\mathbb{R}^+$ :

$$z^n=\left(|z|e^{\arg(z)i}\right)^n=|z|^ne^{n\arg(z)i}$$

Donde $|z|=\sqrt{\Re^2[z]+\Im^2[z]}$ y $\arg(z)$ es el argumento complejo de $z$ .

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Así que, tenemos:

$$\text{Q}=(1+2i)^n=5^{\frac{n}{2}}e^{n\arctan(2)i}$$

Ahora, mira:

• $$a_n=\Re[\text{Q}]=5^{\frac{n}{2}}\cos(n\arctan(2))$$
• $$b_n=\Im[\text{Q}]=5^{\frac{n}{2}}\sin(n\arctan(2))$$

Así que, lo entendemos:

$$b_{n+2}-2b_{n+1}+5b_n=0\Longleftrightarrow$$ $$5^{\frac{n+2}{2}}\left(\sin((n+2)\arctan(2))+\sin(n\arctan(2))\right)-2\cdot5^{\frac{n+1}{2}}\sin((n+1)\arctan(2))=0\Longleftrightarrow$$ $$5^{\frac{n+2}{2}}\left(\sin((n+2)\arctan(2))+\sin(n\arctan(2))\right)=2\cdot5^{\frac{n+1}{2}}\sin((n+1)\arctan(2))\Longleftrightarrow$$ $$\frac{5^{\frac{n+2}{2}}}{2\cdot5^{\frac{n+1}{2}}}=\frac{\sin((n+1)\arctan(2))}{\sin((n+2)\arctan(2))+\sin(n\arctan(2))}\Longleftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$