El multiverso teórico de conjuntos como (bi)categoría

Question

Joel Hamkin's El multiverso teórico de conjuntos ha aparecido antes en las preguntas de MO, por ejemplo, aquí y aquí . Pero me preguntaba cuál es el mejor ángulo de la teoría de las categorías para abordarlo.

En el documento Joel escribe, de forma bastante poética,

La teoría de conjuntos parece haber descubierto todo un cosmos de universos teóricos de conjuntos, revelando una naturaleza teórico-categorial para teórica para el tema, en la que los universos están conectados por la relación de forzamiento o por grandes incrustaciones cardinales en diagramas conmutativos complejos, como constelaciones que llenan un cielo nocturno oscuro. (p. 3)

Nos ha dado un par de tipos de morfismo aquí, pero ¿cuál es la mejor manera de capturar esta categoría de multiverso teóricamente? ¿Qué morfismos deberíamos permitir?

¿Es correcto quedarse en el nivel de las categorías ordinarias? Dado que cada universo, un modelo de ZFC, es una categoría, cabría esperar que el multiverso fuera al menos una bicategoría, como se sugiere aquí . ¿Consideran los teóricos del conjunto, por ejemplo, flechas entre dos relaciones de forzamiento entre dos modelos?

Answer 1

En primer lugar, muchas gracias por la pregunta (la atención prestada a mi artículo sobre el multiverso es un halago). Estoy muy interesado en escuchar a los teóricos de la categoría sobre esto. Mientras tanto, permítame comentar desde una perspectiva teórica de conjuntos.

Aunque los teóricos de conjuntos rara vez utilizan explícitamente la terminología y las ideas de la teoría de las categorías, sin embargo, muchas de sus preocupaciones tienen una naturaleza de teoría de las categorías. Por poner dos ejemplos:

• Es una preocupación fundamental en la teoría de las grandes incrustaciones cardinales entender cuándo el límite directo de un sistema de iteraciones de grandes incrustaciones cardinales tiene un límite directo bien fundado, y esta cuestión puede ser lanzada categoría-teóricamente como la cuestión de si una determinada categoría exhibe ciertos límites.
• La elección del soporte en un argumento de forzamiento iterado, omnipresente en la teoría de conjuntos, equivale al uso de ciertos límites en determinadas categorías. Por ejemplo, el hecho de que el forzamiento ccc se conserve bajo iteraciones de soporte finito puede expresarse categóricamente como la categoría de nociones de forzamiento ccc que tienen límites directos. Otras opciones de soporte, como el soporte contable o el soporte de Easton (una mezcla de límites inversos y límites directos) o el soporte contable revisado, también pueden expresarse categóricamente. Gran parte de nuestra comprensión del poder del forzamiento ha venido de un análisis detallado de la naturaleza de estos diferentes tipos de iteraciones.

Incluso la combinatoria de forzamiento de una sola noción de forzamiento $\mathbb{P}$ como la cuestión de la clausura, la condición de cadena y las propiedades de homogeneidad, pueden ser planteadas categóricamente. Algunas construcciones de forzamiento, como el forzamiento de la torre estacionaria, combinan todas las ideas teóricas de la categoría anteriores, ya que las condiciones del forzamiento implican incrustaciones genéricas que se iteran y amplían.

En cada uno de estos casos, las ideas de la teoría de conjuntos se relacionan directamente con características de la clase de todos los modelos de la teoría de conjuntos que podrían surgir de la construcción en cuestión. En el caso de las incrustaciones cardinales grandes iteradas, uno se ve llevado a considerar los modelos de la teoría de conjuntos que surgen durante el curso de la iteración. Y en el caso de las iteraciones forzadas, uno considera, por supuesto, las extensiones forzadas intermedias que surgen de los factores de la iteración forzada. Muchos argumentos de la teoría de conjuntos implican un vasto conjunto de modelos intermedios de la teoría de conjuntos conectados de cierta manera precisa, ya sea por forzamiento o por grandes incrustaciones cardinales, y el análisis de este sistema impulsa el argumento. Era en parte este tipo de situación la que tenía en mente en los comentarios que citaste.

Pero otro aspecto fue la observación de que los teóricos de conjuntos han descubierto una enorme abundancia de modelos de la teoría de conjuntos, con nuevos universos a menudo construidos a partir de universos conocidos de ciertas maneras precisas. Así que la inclinación natural al ver el multiverso como una categoría, por lo tanto, sería tener un concepto absurdamente generoso, donde todos los modelos de la teoría de conjuntos aparecen como los objetos, y todas las formas conocidas que pueden relacionarse aparecen como morfismos, incluyendo incrustaciones elementales, la relación de extensión forzada, incrustaciones de un modelo a un modelo interno de otro, la relación de extensión final, y así sucesivamente.

Pero una idea tan absurda, por supuesto, no es la forma en que generalmente se avanza en la teoría de las categorías. Más bien, uno quiere elegir los objetos y los morfismos con cuidado para que la categoría muestre características deseables, que luego se puedan emplear de forma fructífera. Así que mi pregunta para los teóricos de la categoría sería: ¿cuáles son las propiedades de la teoría de la categoría que podríamos aspirar a exhibir en el multiverso? Una respuesta podría guiarnos hacia una elección fructífera de morfismos.

Answer 2

Para empezar: Hay dos nociones que debemos distinguir claramente aquí: primero, los principios que se sospecha (o se afirma) que se mantienen en el multiverso; y segundo, las interpretaciones reales que se pretenden de estos principios y los límites implícitos que se les ponen al vivir en un $V$ .

En primer lugar, los principios que discute son de primer orden, lo que significa que viven en el mundo de las matemáticas propiamente dicho. Además, son agradables, y de hecho existe un modelo bastante agradable para ellos. Sin embargo, este modelo y cualquier otro modelo de este tipo, no puede reflejar de ninguna manera otra cosa que los principios de primer orden que se afirman en el multiverso. Son simplemente objetos que exhiben la consistencia/coherencia de dichos principios (algo así como exhibir $\{0\}$ con la operación $\{\langle\langle 0, 0 \rangle,0\rangle \}$ y observando que satisface los axiomas de un grupo).

En segundo lugar, según la interpretación que se pretende, no puede haber una objeto que es el multiverso. Esto se deduce directamente del axioma de la extensión forzada. La razón es la siguiente: es imposible "cerrar" internamente una noción de forzamiento, porque al afirmar que existe un genérico particular, se acaba de definir cómo evitarlo. En pocas palabras, para cualquier $\mathbb{P}$ , si $G$ es $\mathbb{P}$ -generico sobre $V$ , entonces $G$ no es $\mathbb{P}$ -generico sobre $V[G]$ (ya que $1 \Vdash \forall \dot{p}\in\check{\mathbb{P}} \,\exists\dot q\in (\check{\mathbb{P}}\backslash \dot{G})(\dot{q}\le\dot{p})$ .) Además, la "Absorción en L" y el "Principio de Contabilidad" se combinan para implicar que cualquier $V$ que piensa que ha capturado el multiverso, sólo se miente a sí mismo.

Mi punto principal: El multiverso propiamente dicho es un objeto meta, en el sentido más fuerte posible. La razón de esto es que oficialmente no se puede ir por delante de él, o correr la fuerza de su interpretación prevista (como se puede hacer con cardinales inaccesibles y ZFC.)

Adenda: ver comentarios.

Nota: Si hay algún problema, hágamelo saber en los comentarios

Answer 3

Estoy tratando de pensar cuál sería el punto de partida y un programa básico para "categorizar" el multiverso.

Comencemos con el categoría accesible MOD(ZF) de todos los modelos de ZF y mapas habituales de los modelos. Ahora, obviamente, hay algo ahí que lo hace distinguirse de otros gatos análogos de modelos de teorías de primer orden (digamos GRUPOS).

Como ha recordado Joel más arriba, existe una plétora de tecnologías para construir modelos a partir de los existentes, ya sea por ampliación (forzamiento) o por restricción (modelos internos).

Mi reacción inmediata (desde el punto de vista categórico) es la siguiente:

¿podemos caracterizar estructuralmente estas operaciones?

Quiero decir: ¿podemos, sin recurrir a los detalles habituales de la teoría de conjuntos de tales construcciones, describirlas (por ejemplo, los distintos tipos de ampliaciones de forzamiento) de forma puramente diagramática dentro de MOD(ZF)? Ese sería, o así me parece, el primer paso (este paso puede requerir la introducción de mapas adicionales, en cuyo caso puede guiarnos hacia la configuración adecuada).

Suponiendo que se pueda responder parcialmente en la afermativa, el segundo paso sería:

axiomatizar MOD(ZF) como una categoría accesible MÁS esas operaciones estructurales.

El tercer paso sería este: a diferencia de otras categorías MOD(T), MOD(ZF) tiene esta fascinante propiedad: dado un modelo M de ZF, es decir, un elemento del gato,

se puede considerar el MULTIVERSO de los modelos internos de M (llamémoslo principio de las cajas chinas, si es que no tiene ya nombre).

Esto parece sugerir, como el PO ha insinuado de hecho, que MOD(ZF) es de hecho un gato superior.

El juego no ha terminado. Hay una sutil interacción entre esos modelos internos y su exteriorización. Aquí no tengo ni idea, pero parece que la línea de pensamiento adecuada sería utilizar la maquinaria de la teoría de las categorías internas para expresar esta característica.

El cuarto paso (perdón, estoy hablando por libre) sería: ahora, dada la axiomatización completa de Mod(ZF), ¿hay alguna manera de demostrar que es "única"? ¿O hay otros modelos de esta axiomatización que no sean MOD(ZF)? Lo más probable es que haya otros (multi)universos que no sean el previsto.

POST SCRIPTUM: No soy un experto, así que los adeptos a la teoría de conjuntos deberían corregirme si en el esbozo suelto del programa anterior he introducido alguna tontería involuntaria. En particular, he asumido una amplia partición triple de las herramientas de construcción de modelos, en ampliación, restricción (como L y sus variantes) y, finalmente, internalización (es decir, partiendo de un modelo M crear otro que resulta ser un conjunto en M). Si hay algo que no encaja en las etiquetas mencionadas, añádalo al menú. Por ejemplo, hay (al menos) dos tipos de ampliación, una que mantiene la altura fija y otra que hace el modelo más alto. Un enfoque estructural de la construcción de modelos dentro del multiverso tiene que tener en cuenta todos esos tipos, por lo que es necesario realizar una taxonomía preliminar y precisa de las formas básicas de construcción de modelos.