La relación de la Función de Bessel modificada de primer tipo con su derivada (de orden positivo)

Question

Estoy tratando de encontrar el límite: $lim_{x \rightarrow 0} x\frac{I_{\nu}'(x)}{I_{\nu}(x)}$ para orden real $\nu > 0$.

Wolfram Alpha da el resultado de $\nu$ para orden real $\nu > 0$, pero no entiendo por qué. Las relaciones de recurrencia con respecto a las derivadas $2 I'_{\nu}(x) = I_{\nu-1}(x) + I_{\nu+1}(x)$ no parecen ser lo correcto a usar.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Usa la fórmula alternativa http://dlmf.nist.gov/10.29.E2 $$I_{\nu}'(x)= I_{\nu+1}+\frac{\nu}{x}I_{\nu}(x)$$ y la forma asintótica para $I_{\nu}(x)\sim(\frac{x}{2})^{\nu}/\Gamma(\nu+1)\;$ cuando $x\rightarrow 0.$ Entonces obtenemos $$x\frac{I_{\nu}'(x)}{I_{\nu}(x)} =x\left(\frac{I_{\nu+1}(x)}{I_{\nu}(x)} + \frac{\nu}{x}\frac{I_{\nu}(x)}{I_{\nu}(x)}\right) \sim\nu + x\frac{(\frac{x}{2})^{\nu+1}\Gamma(\nu+1)}{(\frac{x}{2})^{\nu}\Gamma(\nu+2)}\\ =\nu + x\frac{(\frac{x}{2})}{\nu+1}\\ $$ y por lo tanto tu límite es $$\lim_{x\rightarrow 0} x\frac{I_{\nu}'(x)}{I_{\nu}(x)}=\nu$$