Solución general de la partícula 1d dependiente del tiempo en una caja

Question

En el texto de Griffith, muestra que $$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a} } \sin \left(\frac{n \pi }{a}x \right)$$ es la solución de la ecuación de Shrodinger independiente del tiempo para el "pozo infinito" 1d de tamaño $a$ .

A continuación, concluye que $$\Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{\frac{2}{a} } \sin \left(\frac{n \pi }{a}x \right) e^{-i(n^2 \pi^2 \bar{h} / 2 ma^2)t}$$ es la solución general de la ecuación dependiente del tiempo.

Dice que para la ola inicial $\Psi(x,0)$ El $c_n$ los coeficientes vienen dados por $$c_n = \sqrt{\frac{2}{a} }\int_0^a \sin \left(\frac{n \pi }{a}x \right)\Psi(x,0)dx.$$

Mi pregunta es sobre esto $\Psi(x,0)$ función de onda. ¿Puede ser cualquier función de onda que se comporta bien? ¿O tiene que ser una de esas $\psi_n(x)$ que se encontraron arriba? Si no es así, ¿me equivoco al pensar que las combinaciones lineales de esos $\psi(x)$ ¿las funciones son las únicas permitidas para este sistema? ¿Cuál es la forma correcta de pensar en la relación entre el $\psi(x)$ , $\Psi(x,0)$ y en general $\Psi(x,t)$ ¿funciones de onda?

Answer 1

La solución para $\psi_n (x)$ tiene que ser tal que obedezca la ecuación de Schrödinger y las condiciones de contorno del pozo de potencial 1D. Esto significa que es imposible encontrar la partícula más allá del pozo. Teóricamente, podría ser cualquier otra función que cumpliera las dos condiciones anteriores. Una posible solución es el seno derivado por Griffiths.

Answer 2

La idea es que $\{\psi_n(x)\}$ forma una base completa del espacio de soluciones. Esto significa que cualquier solución que se comporte suficientemente bien (es decir $L^2$ ) $\Psi(x,0)$ puede expresarse como una combinación lineal de $\psi_n$ s.

Answer 3

Los estados propios de energía (estados propios del hamiltoniano) son también estados propios del operador de evolución temporal. Esto significa que si queremos entender un sistema cuántico, sólo tenemos que encontrar los eigenestados de energía, expresar la solución en $t=0$ en términos de estos estados propios, y luego cada uno de ellos evoluciona independientemente en el tiempo.

Resulta que siempre podemos expresar una solución general de la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo como una suma de estados propios. Decimos que forman un base - como los vectores base en un espacio vectorial.

El $\psi_n$ son estados propios de energía, porque $H\psi_n = E_n\psi_n$ où $E_n$ es la energía de ese estado. Vamos a utilizarlos como base para expresar la solución de nuestra ecuación: piensa en ellos como vectores base $\pmb{i}, \pmb{j}, \pmb{k}$ en el espacio euclidiano 3D.

El paso que probablemente te estés perdiendo es este: eso significa que podemos escribir $$\Psi(x, 0) = \sum_n c_n \psi_n(x)$$ de la misma manera que podemos escribir un vector general en 3D como $a\pmb{i}+b\pmb{j}+c\pmb{k}$ .

Encontramos los coeficientes $c_n$ utilizando un producto interno, de nuevo como con los vectores "normales". Ese producto interno te lleva a la fórmula de $c_n$ que tiene en su pregunta.

Finalmente, porque elegimos trabajar con eigenestados de energía, la evolución del tiempo es ahora un paso adicional trivial. Eso nos da el factor de $e^{-iEt/\hbar}$ en $\Psi(x, t)$ . Cómo llegar a $\Psi(x,0)$ fue la parte difícil - por eso la mayor parte del alboroto en QM tiende a ser sobre la búsqueda de los eigenestados de energía.