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Generalización de Cauchy-Schwarz para más de dos vectores

Para un complejo producto interior espacio, X, Cauchy-Schwarz desigualdad de los estados |x,y|2x,xy,y, para cualquier x,yX. La igualdad ocurre si, y sólo si x y son linealmente dependientes. Me di cuenta de que esto puede ser reformulada como: |v1,v1v1,v2v2,v1v2,v2|0 con la igualdad estricta si {vi} es linealmente independiente. Hace esto (de alguna manera) generalizar para n vectores? Que es, hace lo siguiente: se |v1,v1v1,v2v1,vnv2,v1v2,v2v2,vnvn,v1vn,v2vn,vn|0

Al menos, podemos probar que el anterior determinante es distinto de cero si {vi} es linealmente independiente? Me encontré con esta trabajando en un análisis funcional del problema, pero esta no es una tarea problema.


EDIT: Para aquellos etiquetado como un duplicado, yo veo esto como diferentes debido a que esta pregunta se refiere específicamente a la desigualdad, y no sólo para probar que el determinante es distinto de cero si son linealmente independientes. Además, este post específicamente sugiere una conexión a Cauchy-Schwarz que no se mencione en el otro post.

Como un comentarista (Algebraica) señaló, esta matriz se llama matriz de Gram de los vectores {vi}; en Wikipedia se afirma que esta matriz si es positivo semi-definido, y es positiva definida en el caso de que ellos son linealmente independientes. Esto demuestra que el determinante es mayor que o igual a cero para arbitrario {vi} y es estrictamente positiva en el caso de que el {vi} son linealmente independientes.

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Aquí es un argumento fácil. Deje x ser la matriz x=[v1v2vn]. Entonces xx=[v1v1v1v2v1vnv2v1v2v2v2vnvnv1vnv2vnvn]=[v1,v1v1,v2v1,vnv2,v1v2,v2v2,vnvn,v1vn,v2vn,vn]. Como xx es positivo-semidefinite, det.

Si v_1,\ldots,v_n son linealmente dependientes, existen coeficientes, no todos cero, con c_1v_1+\cdots+c_nv_n=0. Podemos escribir esto como xc^*=0c\ne0. Pero, a continuación,x^*xc=0, y por lo x^*x tiene un núcleo, y \det x^*x=0.

Por el contrario, si \det x^*x=0 significa que existe un valor distinto de cero cx^*xc^*=0. Pero, a continuación,(xc^*)^*xc^*=cx^*xc^*=0, lo xc^*=0 v_1,\ldots,v_n son linealmente dependientes.

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