Generalización de Cauchy-Schwarz para más de dos vectores

Question

Para un complejo producto interior espacio, $X$, Cauchy-Schwarz desigualdad de los estados $$ | \langle x,y \rangle |^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y, y\rangle , $$ para cualquier $x,y \in X$. La igualdad ocurre si, y sólo si $x$ $y$ son linealmente dependientes. Me di cuenta de que esto puede ser reformulada como: $$ \left|\begin{array}{cc} \langle v_1, v_1 \rangle & \langle v_1, v_2\rangle \\ \langle v_2, v_1 \rangle & \langle v_2, v_2\rangle \\ \end{array}\right| \geq 0$$ con la igualdad estricta si $\{v_i \}$ es linealmente independiente. Hace esto (de alguna manera) generalizar para $n$ vectores? Que es, hace lo siguiente: se $$ \left|\begin{array}{cccc} \langle v_1, v_1 \rangle & \langle v_1, v_2\rangle & \cdots &\langle v_1, v_n \rangle \\ \langle v_2, v_1 \rangle & \langle v_2, v_2\rangle & \cdots &\langle v_2, v_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_n, v_1 \rangle & \langle v_n, v_2\rangle & \cdots &\langle v_n, v_n \rangle \end{array}\right| \geq 0$$

Al menos, podemos probar que el anterior determinante es distinto de cero si $\{v_i \}$ es linealmente independiente? Me encontré con esta trabajando en un análisis funcional del problema, pero esta no es una tarea problema.

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EDIT: Para aquellos etiquetado como un duplicado, yo veo esto como diferentes debido a que esta pregunta se refiere específicamente a la desigualdad, y no sólo para probar que el determinante es distinto de cero si son linealmente independientes. Además, este post específicamente sugiere una conexión a Cauchy-Schwarz que no se mencione en el otro post.

Como un comentarista (Algebraica) señaló, esta matriz se llama matriz de Gram de los vectores $\{v_i\}$; en Wikipedia se afirma que esta matriz si es positivo semi-definido, y es positiva definida en el caso de que ellos son linealmente independientes. Esto demuestra que el determinante es mayor que o igual a cero para arbitrario $\{v_i\}$ y es estrictamente positiva en el caso de que el $\{v_i\}$ son linealmente independientes.

Answer 1

Aquí es un argumento fácil. Deje $x$ ser la matriz $$ x=\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}. $$ Entonces $$ x^*x=\begin{bmatrix} v_1^*v_1&v_1^*v_2&\cdots&v_1^*v_n\\ v_2^*v_1&v_2^*v_2&\cdots&v_2^*v_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n^*v_1&v_n^*v_2&\cdots&v_n^*v_n\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \langle v_1, v_1 \rangle & \langle v_1, v_2\rangle & \cdots &\langle v_1, v_n \rangle \\ \langle v_2, v_1 \rangle & \langle v_2, v_2\rangle & \cdots &\langle v_2, v_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_n, v_1 \rangle & \langle v_n, v_2\rangle & \cdots &\langle v_n, v_n \rangle \end{bmatrix}. $$ Como $x^*x$ es positivo-semidefinite, $\det x^*x\geq0$.

Si $v_1,\ldots,v_n$ son linealmente dependientes, existen coeficientes, no todos cero, con $c_1v_1+\cdots+c_nv_n=0$. Podemos escribir esto como $xc^*=0$$c\ne0$. Pero, a continuación,$x^*xc=0$, y por lo $x^*x$ tiene un núcleo, y $\det x^*x=0$.

Por el contrario, si $\det x^*x=0$ significa que existe un valor distinto de cero $c$$x^*xc^*=0$. Pero, a continuación,$(xc^*)^*xc^*=cx^*xc^*=0$, lo $xc^*=0$ $v_1,\ldots,v_n$ son linealmente dependientes.