Para un complejo producto interior espacio, X, Cauchy-Schwarz desigualdad de los estados |⟨x,y⟩|2≤⟨x,x⟩⋅⟨y,y⟩, para cualquier x,y∈X. La igualdad ocurre si, y sólo si x y son linealmente dependientes. Me di cuenta de que esto puede ser reformulada como: |⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩⟨v2,v1⟩⟨v2,v2⟩|≥0 con la igualdad estricta si {vi} es linealmente independiente. Hace esto (de alguna manera) generalizar para n vectores? Que es, hace lo siguiente: se |⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩⋯⟨v1,vn⟩⟨v2,v1⟩⟨v2,v2⟩⋯⟨v2,vn⟩⋮⋮⋱⋮⟨vn,v1⟩⟨vn,v2⟩⋯⟨vn,vn⟩|≥0
Al menos, podemos probar que el anterior determinante es distinto de cero si {vi} es linealmente independiente? Me encontré con esta trabajando en un análisis funcional del problema, pero esta no es una tarea problema.
EDIT: Para aquellos etiquetado como un duplicado, yo veo esto como diferentes debido a que esta pregunta se refiere específicamente a la desigualdad, y no sólo para probar que el determinante es distinto de cero si son linealmente independientes. Además, este post específicamente sugiere una conexión a Cauchy-Schwarz que no se mencione en el otro post.
Como un comentarista (Algebraica) señaló, esta matriz se llama matriz de Gram de los vectores {vi}; en Wikipedia se afirma que esta matriz si es positivo semi-definido, y es positiva definida en el caso de que ellos son linealmente independientes. Esto demuestra que el determinante es mayor que o igual a cero para arbitrario {vi} y es estrictamente positiva en el caso de que el {vi} son linealmente independientes.