En una prueba, me pidieron que resolviera la siguiente pregunta: Si $a_1,a_2,a_3, \cdots ,a_n$ son $n$ números naturales Impares distintos y no divisibles por ningún número primo mayor que igual a $7$ . Entonces el mayor valor integral de $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n}$$ puede ser?
La respuesta dada es $1$ pero no sé cómo.
Encontramos la suma de todo recíprocos de enteros de la forma $3^k5^l$ , donde $k$ y $l$ rango sobre los enteros no negativos. Esto es $$\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\cdots\right).$$ Por la fórmula habitual de la suma de una serie geométrica infinita, el producto anterior es $\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}$ .
Una suma de $1$ se consigue fácilmente, utilizando $a_1=1$ . Según nuestros cálculos, todas las sumas finitas del tipo descrito son menores que $\frac{15}{8}$ , por lo que la suma $2$ no es posible.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
