¿Cuál es la diferencia entre estas dos ecuaciones diferenciales?

Question

Sé cómo resolver estos dos problemas, pero no sé por qué resuelvo cada uno de ellos de forma diferente. ¿Cómo puedo resolver el segundo problema de la misma manera que resolví el primero? ¿O no es posible?

1. Si $\frac{dy}{dx}=y\sec^2(x)$ y $y=5$ cuando $x=0$ entonces $y=$

a) $e^{\tan(x)}+4$

b) $e^{\tan(x)}+5$

c) $5e^{\tan(x)}$

d) $\tan(x)+5$

e) $\tan(x)+5e^x$

Para solucionar esto he encontrado $\frac{dy}{dx}$ para cada una de las opciones de respuesta y la opción de respuesta c) da $\frac{dx}{dy}=5e^{\tan(x)}\sec^2(x)$ y como $y=5e^{\tan x}$ , ésta es de la forma $\frac{dy}{dx}=y\sec^2 x$

2. ¿Cuál de las siguientes es la solución de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=e^{y+x} $ con la condición inicial $y(0)=-\ln(4)$ ?

a) $y=-x-\ln(4)$

b) $y=x-\ln(4)$

c) $y=-\ln(-e^x+5)$

d) $y=-\ln(e^x+3)$

e) $y=\ln(e^x+3)$

$\frac{dy}{dx}=e^y*e^x$

$\frac{dy}{y}=e^xdx$

$\int \frac{dy}{y}= \int e^xdx$

$-e^{-y}=e^x +C$

$e^{-y}=-e^x +C$

$\ln[e^{-y}]=\ln[-e^x +C]$

$-y=\ln(-e^x+C)$

$y=-\ln(-e^x+C)$

Esta es la opción de respuesta C.

Answer 1

Puedes hacer lo mismo en la primera ecuación que en la segunda.

Se llama separación de variables.

Comienza con

$$\dfrac{dy}{y}= \sec^2(x)dx$$

e integrar ambos lados por separado.

Answer 2

Puedes hacer lo mismo en el segundo problema: $dy=-d(\ln(-e^x+5))=\frac{e^xdx}{-e^x+5}$ o $$\frac{dy}{dx}=e^xe^y$$ porque si $y=-\ln(-e^x+5)$ puis $e^y=\frac{1}{-e^x+5}$