El título lo dice todo. Está claro que el conjunto de todas las series de potencias con coeficientes enteros no es contable mientras que el conjunto de los números algebraicos sí lo es, pero no sé si el conjunto de las raíces de las series de potencias con raíces enteras es incontable.
Respuestas
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Incluso ignorando la serie de potencias con todos los ceros (de la que cada número es una raíz), sigue siendo definitivamente incontable. Dado cualquier $a\in (-1, 1)$ podemos construir una serie de potencias no nulas $f_a$ con $a$ como raíz. Básicamente, los poderes superiores de $a$ producen números más pequeños, por lo que construimos $f_a$ como sigue. En primer lugar, supongamos que WLOG que $a\not=0$ (en caso contrario, haz que el término constante sea cero). Entonces, observe que (i) para todos los reales positivos $\epsilon$ hay algún número entero positivo par $n$ tal que $0<a^{n}<\epsilon$ pero (ii) para cualquier $N$ y cualquier positivo incluso $n$ hay algún número entero positivo $m$ tal que $ma^n>N$ .
Esto nos permite definir recursivamente una secuencia de coeficientes $a_i$ tal que para cada $n$ la suma $a_0+a_1a^2+a_2a^4+...+a_na^{2n}$ está entre $0$ y ${1\over n}$ por lo que toda la serie de potencias llega a cero, por lo que $a$ es una raíz de $$\sum_{n\in\mathbb{N}}a_nx^{2n}.$$ Dado que hay un número incontable de $x$ sur $(-1, 1)$ Esto termina la prueba.
Matt Samuel
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Dejemos que $0<a<1$ ser irracional. Afirmo que hay una serie de potencias $$\sum{a_nx^n}$$ con coeficientes enteros que desaparecen en $a$ .
Si $a>\frac12$ , dejemos que $a_0=1$ y $a_1=-1$ , de lo contrario deja que $a_0=0$ y $a_1=1$ . Supongamos recursivamente que $k\ge 1$ hemos definido $a_0,\ldots,a_N$ tal que $$0<\sum_{n=1}^N{a_na^n}<\frac1{k+1}$$ Elegimos $N'$ y $a_{N+1},\ldots,a_{N'}$ tal que $$0<\sum_{n=1}^{N'}{a_na^n}<\frac1{k+2}$$ Si la suma (llamémosla $A$ para abreviar) ya satisface este let $N'=N$ . De lo contrario, elija $N'$ lo suficientemente grande como para que $$a^{N'}<\frac1{2(k+2)}$$ Dejemos que $a_i=0$ si $N<i<N'$ . Entonces dejemos que $$a_{N'}=-\left\lceil\frac{(A-\frac1{k+2})}{a^{N'}}\right\rceil$$ Entonces $$0<A+a_{N'}a^{N'}<\frac1{k+2}$$ Dejar $k\to\infty$ terminamos con una serie de potencias con coeficientes enteros que desaparece en $a$ que debería responder a su pregunta.
