Cubiertas suaves que retroceden una clase de cohomología a cualquier múltiplo algebraico

Question

Fijar un número entero algebraico $x\neq 0$ . ¿Existe una variedad lisa cerrada $M$ con una clase $\rho\in H^{1}_{\mathrm {dR} }(M)$ y un mapa de cobertura suave $\phi:M\to M$ tal que $\phi^*\rho=x\rho$ ?

Answer 1

Todo entero algebraico no nulo $x$ sur $\mathbb R$ es un valor propio de un $\mathbb R$ -matriz entera diagonalizable $A \in M_n(\mathbb Z)$ con $\det(A) \neq 0$ para algunos $n$ . Así que toma el mapa de tori $A^t: \mathbb R^n /\mathbb Z^n \to \mathbb R^n/\mathbb Z^n$ . Esto actúa por $A^t$ en $\mathbb Z^n = H_1(\mathbb R^n /\mathbb Z^n)$ y por lo tanto por $A$ en $H^1(\mathbb R^n /\mathbb Z^n)$ .