¿Existen funciones que satisfagan estas condiciones?

Question

Así que necesito 2 funciones ( $f(x)$ y $g(x)$ ) que satisfacen estas condiciones:

$f(x) > g(x) \;\; \forall x \in \Bbb{R}$

y

$f'(x) < g'(x) \;\; \forall x \in \Bbb{R}$

No encuentro ninguno y tengo esta justificación:

$$f(x)>g(x) \iff f(x) - g(x) > 0 \iff (f(x) - g(x))' > 0 \iff f'(x) > g'(x)$$

¿Es esto correcto? ¿O hay funciones que cumplan las condiciones?

Answer 1

SUGERENCIA: Intente $f(x)=e^{-x}$ y una función creciente estrechamente relacionada con ella. El bloque protegido por el spoiler te da la otra función si no la encuentras después de pensarlo.

En concreto, puede tomar $g(x)=-f(x)$ .

Answer 2

Si llama a $h(x)=f(x)-g(x)$ que está buscando $h(x)>0$ y $h'(x)<0$ . Un ejemplo fácil es $h(x)=a^{x}$ con $0<a<1$ .

Ahora puedes pensar en muchos $f$ y $g$ . Por ejemplo, $f(x)=2a^x$ y $g(x)=a^x$ .