Determine la probabilidad de que al menos $1$ tres aparece cuando $3$ se tiran los dados.

Question

La respuesta es $91/216$ Entiendo cómo $216$ está ahí por $6\cdot 6\cdot 6$ , $91$ aunque no sé qué tienen.

Estoy tan confundido al enumerar los resultados, siento que con $3$ die, hay demasiados resultados para que los escriba. Creo que sería algo así como
$(3,1,1)$
$(3,2,2)$
$(3,3,3)$
$(3,4,4)$
$(3,5,5)$
$(3,6,6)$

Answer 1

Bien, considera la probabilidad de que no aparezca ningún tres.   Que los tres dados muestren sólo uno de $\{1,2,3,4,5\}$ ? Es $$\mathsf P(N_3=0)~=~\frac{5^3}{6^3}$$

Ese es el evento del complemento, así que $$\mathsf P(N_3\geq 1) ~=~ 1 -\frac {5^3}{6^3} = \frac{91}{216}$$

Eso es todo.

Answer 2

Bien, usando alguna notación, llamaré a $X$ el número de unos sacados en 3 tiradas.

Entonces, observe que tenemos $n = 3$ ensayos independientes con probabilidad $p = 1/6$ de éxito (sacar un uno). Por lo tanto, $X$ sigue una distribución binomial. $X\sim\text{Binomial}(3, 1/6).$

Utilizando el complemento, derivamos una solución más fácil; $$P(X\geq 1) = 1-P(X = 0) = 1-\binom{3}{0}(1/6)^0(5/6)^3 = \frac{91}{216}.$$

Utilizando un argumento de conteo, vemos que hay $6^3$ trillizos posibles, el número de trillizos que no contienen un tres es $5^3$ y, por tanto, la probabilidad de interés es

\begin{align*} P(X\geq 1) &= 1-P(X = 0) \\ &= 1-\frac{\text{# of triplets with no threes}}{\text{# of all triplets}}\\ &= 1-\frac{5^3}{6^3} \\ &= \frac{6^3-5^3}{6^3} \\ &= \frac{91}{216}. \end{align*}

Answer 3

Si le interesa contar los resultados, considere lo siguiente. Supongamos que sólo el primer dado tiene un 3. El segundo dado puede tomar cualquiera de los valores 1, 2, 4, 5 o 6, y el tercer dado puede tomar cualquier valor de 1, 2, 4, 5 o 6. Por lo tanto, hay $5\times5$ = 25 resultados posibles.

Del mismo modo, hay 25 resultados posibles en los que el segundo dado es el único con un 3, y 25 resultados posibles en los que sólo el tercer dado es un 3. Así, hay un total de 75 tiradas de dados posibles en las que exactamente un dado tiene un 3.

Ahora, veamos el número de resultados posibles en los que dos de los dados tienen 3. Supongamos que el primer y el segundo dado tienen 3. El tercer dado puede ser 1, 2 4, 5 o 6, por lo que hay 5 posibilidades.

Lo mismo puede decirse si el primer y el tercer dado son 3 y si el segundo y el tercer dado son 3. Por lo tanto, hay 15 resultados posibles en los que dos de los dados muestran 3.

Finalmente, hay una posibilidad de que los tres dados muestren un 3.

75 + 15 + 1 = 91.

La respuesta de Graham Kemp es la forma más sencilla de calcularlo. Por ejemplo, imagina que tratas de calcular esto para 100 dados. Podrías contar de la manera que acabo de hacerlo y probablemente te llevaría horas. O puedes tomar el enfoque de Graham y terminar bastante rápido.

Básicamente estás preguntando cuántos resultados hay en los que no se saca ningún 3. Hay 5 posibilidades para cada dado, así que hay $5\times5\times5$ = 125 resultados posibles en los que no sale un 3. Esto significa que hay 216 - 125 = 91 resultados en los que sale al menos un 3.