Serie de Peano-Baker y exponencial ordenada

Question

Una solución general del sistema de la siguiente EDO lineal de primer orden

$$\dot{x}(t) = A(t) x(t)$$

viene dada por el Serie Peano-Baker . Muchos libros sobre ODEs o teoría de control lo cubren.

Recientemente, me encontré con el (tiempo) exponencial ordenado . Leyendo la definición en Wikipedia, creo que la serie de Peano-Baker y la exponencial ordenada son lo mismo. ¿Es esto cierto? Si no es así, ¿cuáles son las diferencias?

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert y sea $(A(t))_{0\leqslant t\leqslant 1}$ sea una familia de operadores en $\mathcal{H}$ . Consideremos la ecuación diferencial $$ x'(t)=A(t)x(t). \tag{1} $$ Si, por ejemplo $A:[0,1]\rightarrow B(\mathcal{H})$ es un mapa continuo hacia los operadores acotados en $\mathcal{H}$ entonces hay una solución única $x:[0,1]\rightarrow B(\mathcal{H})$ a la ecuación (1), y esa solución única viene dada por la serie de Peano-Baker $$ x(t) = \sum_{n=0}^\infty \int_{t>s_1>\ldots >s_n>0} A(s_1)\cdots A(s_n) ds_n\cdots ds_1. $$ Además, si $A(t)=A$ para algún operador fijo acotado, entonces la serie de Peano-Baker se reduce a la serie de la función exponencial $$ x(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^nA^n}{n!}=e^{tA} \tag{2}. $$

Ahora, consideremos la ecuación del calor, que es la ecuación (1) con $A(t)=\Delta$ , donde $\Delta$ denota el laplaciano. Aquí, $\Delta$ ya no está acotado, sino que es un operador no acotado, autoadjunto y no positivo en $\mathcal H=L^2(\mathbb{R}^d)$ . Entonces sigue siendo correcto que $x(t)=e^{t\Delta}$ resuelve la ecuación (1), pero la exponencial se entiende ahora en el sentido del cálculo funcional de un operador autoadjunto. Dado que $\Delta\leqslant 0$ se encuentra $\lVert x(t)\rVert \leqslant 1$ es decir $x(t)$ sigue estando acotada para todos los $t$ . Entonces es natural preguntarse si también tenemos la expansión de la serie (2), correspondiente a la serie de Peano-Baker.

Sin embargo, está claro que no podemos tener convergencia de la serie con respecto a la norma del operador, ya que $\Delta$ no tiene límites. No obstante, es razonable esperar que $$ x(t)\psi=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\Delta^n\psi}{n!} \tag{3} $$ para algún subespacio de funciones adecuado $\psi\in L^2(\mathbb{R}^d)$ . Por ejemplo, cualquier función $\psi$ que satisface $\hat\psi(k)=0$ si $\lvert k\rvert > M$ (donde $\hat\psi$ denota la transformada de Fourier de $\psi$ ) también satisfará $$ \lVert \Delta^n \psi\rVert^2=\int \lvert k\rvert ^{4n}\lvert \hat\psi(k)\rvert^2 \, dk \leqslant M^{4n} \int \lvert \hat\psi(k)\rvert^2 \, dk = M^{4n} \lVert \psi\rVert^2, $$ y por lo tanto $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n \lVert \Delta^n \psi\rVert}{n!} \leqslant \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n M^{2n}\lVert \psi\rVert}{n!} = e^{t M^2}\lVert \psi\rVert < \infty. $$ De ello se deduce que la serie $\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\Delta^n\psi}{n!}$ ¡converge! Con un poco de trabajo adicional, también se puede demostrar que la identidad (3) de hecho se cumple para tal $\psi$ .

Por otro lado, consideremos la función gaussiana $\psi(x)=(2\pi)^{-1/4}e^{-\lvert x \rvert^2/4}$ . Recordando que el momentos de la distribución normal son bien conocidos, encontramos $$ \lVert \Delta^n \psi\rVert^2 = \int \lvert k\rvert^{4n}\lvert\psi(k)\rvert^2\, dk = (4n-1)!!= \frac{(4n)!}{2^{2n}(2n)!}. $$ En particular, por la aproximación de Stirling, $$ \frac{t^n \lVert \Delta^n \psi\rVert }{n!} = \frac{t^n}{2^n}\sqrt{\frac{(4n)!}{(2n)!(n!)^2}} \approx \frac{2^{1/4}}{\sqrt{2\pi}} \frac{t^n 4^{n}}{\sqrt{n}}. $$ Así, cuando $t>1/4$ la serie (3) no converge con $\psi(x)=(2\pi)^{-1/4}e^{-\lvert x \rvert^2/4}$ .

La conclusión es que hay que tener cuidado al considerar la serie de Peano-Baker como la solución de la ecuación (1). Incluso la función gaussiana, que se comporta bien según la mayoría de los estándares, resulta ser problemática si se intenta introducirla directamente en la expansión de la serie en el caso de la ecuación del calor.

Una fuente de material sobre estos temas es el libro 'Methods of Modern Mathematical Physics Volume 2' de Reed y Simon.