¿En qué condiciones $r$ -cerrado dependen de la base

Question

Dejemos que $B_n$ forman una subbase de un espacio topológico $X$ y que $A\subset X$ .

Una forma de definir el carácter cerrado de $A$ es decir que si $x$ cumple con lo siguiente cualquier intersección arbitraria de conjuntos de $B_n$ que contienen $x$ también se cruza con $A$ entonces $x\in A$ .

Esto podría concretarse en decir que por saber que $x\in A$ basta con comprobar las intersecciones de sólo $r$ conjuntos subbásicos, una propiedad que llamaremos $r$ -Cierre. Claramente $r$ -la cerrazón implica $(r+1)$ -cerrado y cerrado, pero no a la inversa. Dado un conjunto $A$ digamos que el mínimo $r$ para lo cual $A$ es $r$ -cerrado es su parámetro de cierre (esta terminología no es estándar).

Mis preguntas son:

1. ¿Está bien definida esta noción? Es decir, ¿es imposible encontrar un espacio $X$ un subconjunto $A\subset X$ y dos sub-bases $B_n,B^{'}_n$ tal que $A$ tiene diferentes parámetros de cierre con respecto a cada base?
2. Si no está bien definido en general, ¿en qué términos lo está?

Gracias de antemano

Answer 1

No está inmediatamente bien definido. La razón obvia es que podríamos elegir que nuestra subbase sea una base, en cuyo caso $r$ -cerrado es exactamente lo mismo que cerrado, pero también podemos, por ejemplo, tomar la red $\mathbb{Z}^2 \subset\mathbb{R}^2$ . Esto es cerrado, pero si tomamos como subbase el conjunto de cuadrados con longitud de lado dos y con centros racionales (sólo para imponer la contabilidad), entonces la red no es definitivamente $1$ cerrado, aunque el conjunto de intersecciones por pares forma una base por lo que es 2 cerrado.

En efecto, por la observación anterior, parece bastante claro que, dado que una subbase es una base que induce la equivalencia de todas estas nociones, no puede estar bien definida sin que no sea interesante.