¿Es el plano hiperbólico convexo?

Question

Estoy asistiendo a un ciclo de conferencias sobre introducción a la Geometría no euclidiana, pero se centra en la intuición de ese tema sin darme las herramientas para analizar la siguiente cuestión:

¿Es el plano hiperbólico convexo?

Donde convexo significa aquí que hay una línea geodésica entre dos puntos cualesquiera del conjunto.

En un lado siento que debería ser convexo, porque $\mathbb{H}$ no tiene "obstrucciones", pero la "abundancia de espacio" me hace pensar si podría ser una línea recta que uniera dos puntos cualquiera. Me gustaría ver una prueba de ello.

Answer 1

Aquí tienes una herramienta que puedes utilizar para responder a esta pregunta: En el modelo de medio plano superior del plano hiperbólico $$\mathbb H^2 = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid y > 0\} $$ (con la métrica $ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2}$ ), las líneas geodésicas son los semicírculos euclidianos que chocan con el $x$ -eje en ángulo recto y los rayos verticales euclidianos que se basan en puntos de la $x$ -eje.

Ahora convénzase de que para dos puntos cualesquiera $p,q \in \mathbb H^2$ existe una línea geodésica que contiene a ambos $p$ y $q$ es decir, un semicírculo euclidiano que pasa por $p$ y $q$ golpeando el $x$ -eje en ángulo recto o un rayo vertical euclidiano que pasa por $p$ y $q$ basado en un punto de la $x$ -eje.