Se sabía en el siglo XVII que la función
$$ t \mapsto \int_{1}^{t} \frac{dx}{x} $$
es logarítmica: una secuencia geométrica en el dominio produce una secuencia aritmética en el codominio. Esto, por supuesto, es fácil de probar con el teorema fundamental del cálculo.
Pero ¿hay una manera más simple, quizás geométrica, de probar esto?
Considere esta integral y la sustitución $tx=y$: $$\int_1^u \frac{1}{x}dx=\int_t^{tu}\frac{t}{y}\frac{dy}{t}=\int_t^{tu}\frac{dy}{y}$$
De esto se sigue: $$\int_1^t \frac{dx}{x}+\int_1^u \frac{dx}{x}=\int_1^{tu} \frac{dx}{x}$$
La forma geométrica de describir esto es estirar la función $f(x)=\frac{1}{x}$ con un factor horizontal $t$, por lo que se convierte en $f(x)=\frac{1}{x/t}$. Luego dividimos esta función por el mismo factor $t$.
Tiene que ver con la geometría de la hipérbola. Específicamente, que la función $x \mapsto \frac{1}{x}$ mapea secuencias geométricas en secuencias geométricas.
Para demostrarlo, sea A la región por encima de la abscisa y debajo de la hipérbola $yx = 1$ y entre $x = 1$ y $x = 2$. Y de manera similar, sea B la región por encima de la abscisa y debajo de la hipérbola y entre $x = 2$ y $x = 4.
Entonces, A es la imagen de B bajo la siguiente transformación:
$$(x,y) \mapsto \left( \frac{x}{2}, 2x \right).$$
Esto se puede comprobar transformando los límites de B.
Esta transformación claramente conserva áreas, por lo tanto A y B tienen áreas iguales. O, en fórmula:
$$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x} = \int_{2}^{4} \frac{dx}{x}.$$
Definiendo el logaritmo natural como $\int_{1}^{t}\frac{dx}{x}$ significa que la ecuación anterior se puede escribir como $\log 4 = 2 \log 2$. Un argumento similar puede probar que, de manera más general, $\log st = \log s + \log t$.
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