Este es un problema desde el 2001 Stanford Torneo de Matemáticas Álgebra sección. $$$$Given that $$x+y+z=3$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = 5$$$$x^3+y^3+z^3=7$$Find $x^4+y^4+z^4$. $$$$Mi amigo afirmó que él era capaz de resolver esta cuestión con series geométricas, es decir, sumando las tres ecuaciones y la formación de serie geométrica con tres términos, pero no puedo ver cómo lo soluciono usando ese método. Lo resuelto mediante el método descrito en las soluciones de documentos, pero no he visto una solución con series geométricas. Puede alguien encontrar una manera de resolver el problema a través de series geométricas? Cualquier ayuda con este problema sería genial. Gracias por la ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un lugar gravados solución para un no-como-el problema difícil, y es la única forma que veo para hacer sentido de lo que tu amigo está diciendo. Por otro lado, es genial que nos permite saber acerca de Newton identidades y su prueba mediante la generación de funciones.
Formemos la formal de la serie \begin{align}F(x,y,z,t)&:=(x+y+z)t+(z^2+y^2+z^2)t^2+(x^3+y^3+z^3)t^3+\ldots\\&=3t+5t^2+7t^3+at^4+\ldots,\end{align} donde $a:=x^4+y^4+z^4$ es el número que se quiere encontrar.
La formación de este poder de la serie es el tipo de agregar el dado por las ecuaciones (como su amigo se sugiere), pero se multiplica la primera por $t,t^2,t^3,...$, respectivamente, antes de añadir.
Considere el polinomio \begin{align}G(x,y,z,t)&:=-1+(x+y+z)t+(xy+xz+yz)t^2-(xyz)t^3\\&=-1+3t+(xy+xz+yz)t^2-(xyz)t^3\end{align}
Multiplicamos $F$ veces $G$. Lo que ocurre es que tenemos un polinomio:
\begin{align} FG&=\left(\sum_{k=1}^{\infty}(xt)^k+\sum_{k=1}^{\infty}(yt)^k+\sum_{k=1}^{\infty}(zt)^k\right)G\\ &=-\left(\frac{xt}{1-xt}+\frac{yt}{1-yt}+\frac{yt}{1-xt}\right)(1-xt)(1-yt)(1-zt)\\ &=t\left((-x)(1-yt)(1-zt)+(-y)(1-xt)(1-zt)+(-z)(1-xt)(1-yt)\right)\\ &=-(x+y+z)t+(xy+xz+yz)t^2-(xyz)t^3\\ &=-3t+(xy+xz+yz)t^2-(xyz)t^3 \end{align}
En la segunda igualdad hemos utilizado la suma de la serie geométrica , más o menos, al igual que su amigo decía.
La comparación de los coeficientes de la multiplicación $FG$ con el resultado en la última línea obtenemos (el Newton de las identidades de los valores en este problema)
\begin{align} 2(xy+xz+yz)&=9-5\\ 3xyz&=3(xy+xz+yz)-15+7\\ 0&=3(xyz)-5(xy+xz+yz)+21-(x^4+y^4+z^4) \end{align}
De estos, la sustitución de la parte superior a la parte inferior, encontramos el valor de $x^4+y^4+z^4$. Observe que el método nos permite seguir usando las igualdades entre los coeficientes de mayor grado en $t$ a calcular $x^5+y^5+z^5$, $x^6+y^6+z^6$, y así sucesivamente ...
