Unidad en un dominio integral $R$ lo que implica que un polinomio es irreducible en $R[X]$

Question

He visto este teorema en otro post con el comentario de que es "fácil de demostrar", y sin embargo me cuesta ver cómo es de sencillo.

Teorema: En un dominio integral R[x]

Si $a \in U(R) \Rightarrow ax+b$ es irreductible en $R[x]$ .

Mi idea sería utilizar la idea de que una unidad es reducible, pero tampoco veo cómo eso nos ayuda con el polinomio $ax+b$ . ¿Alguien tiene algún consejo o pista que me ayude a resolver esta prueba?

Answer 1

Un elemento irreducible en un anillo es un elemento que no puede escribirse como producto de dos elementos no unitarios del anillo.

En su caso el anillo es $R[x]$ y si tu poli fuera el producto de otros dos polos entonces uno de ellos tendría que ser una constante y el otro poli tendría que ser lineal(simplemente por consideraciones de grado). Pero entonces al igualar los coeficientes descubres que la constante tendría que dividir el " $a$ " en su $aX+b$ por lo que la constante tendría que ser una unidad.

Answer 2

No es difícil deducir un resultado mucho más fuerte, a saber:

Teorema $\ $ Supongamos que $\,D\,$ es un dominio, y $\,0\ne a,b \in D\,$ satisfacer $\,a,b\mid d\, \Rightarrow\, ab\mid d\,$ para todos $\,d \in D.\,$ Entonces $\, f = ax+b\,$ es primo (por tanto irreducible) en $\,D[x].$

Esto se generaliza a lo siguiente, donde $K = $ campo de la fracción de $D$ .

$$\begin{align}& f\,\ {\rm is\ prime\ in}\ D[x]\iff f\,\ {\rm is\ prime (= irreducible)\ in}\ K[x]\ {\rm and}\,\ f\,\ {\rm is\ superprimitive}\\[.3em] &{\rm where}\,\ f\,{\rm\ is\ {\bf superprimitive}\ in}\ D[x]\,\ :=\,\ d\,|\,cf\, \Rightarrow\, d\,|\,c\,\ \ {\rm for\ all}\,\ c,d\in D^*\end{align}\qquad $$

Answer 3

En primer lugar, observamos que si $R[x]$ es un dominio integral, también lo es $R$ ya que

$0 \ne a, b \in R, \; ab = 0 \Longrightarrow 0 \ne ax, ab \in R[x], \; (ax)(bx) = (ab)x^2 = 0, \tag 1$

por lo que si $R[x] \ni abx^2 \ne 0$ entonces $R \ni ab \ne 0$ . Ahora bien, desde $R$ es un dominio integral, el producto de los términos principales de dos polinomios cualesquiera $p(x), q(x) \in R[x]$ no puede desaparecer, ya que si

$p(x) = \displaystyle \sum_0^{\deg p} p_i x^i, \; q(x) = \sum_0^{\deg q} q_j x^j, \tag 2$

entonces

$p(x)q(x) = \displaystyle \sum_{i + j = \deg p + \deg q} p_i q_j x^{i + j}, \tag 3$

cuyo término principal es $p_{\deg p}q_{\deg q} x^{\deg p + \deg q} \ne 0$ proporcionado $p_{\deg p}, q_{\deg q} \ne 0$ .

Si $ax + b \in R[x]$ fueron reducible, entonces por definición tendríamos

$ax + b = p(x)q(x), \tag 4$

donde

$p(x), q(x) \in R[x], \; \deg p, \deg q \ge 1; \tag 5$

pero por lo que hemos visto anteriormente el grado de $p(x)q(x)$ debe ser entonces al menos $2$ Por lo tanto, concluimos que $ax + b \in R[x]$ es irreducible, al igual que todos los polinomios de grado uno en $R[x]$ .

Observamos que la irreducibilidad de $ax + b$ es de hecho independiente de si $a \in U(R)$ o no; por supuesto la implicación

$a \in U(R) \Longrightarrow ax + b \; \text{is irreducible in} \; R[x] \tag 6$

es de hecho verdadero ya que $ax + b$ es siempre irreducible cuando $R[x]$ es un dominio integral, como se ha demostrado; pero (6) es realmente una consecuencia de la lógica de las proposiciones, viz . $\theta \longrightarrow \phi$ es verdadera siempre que $\phi$ es; realmente no hemos utilizado ningún algebraico hechos sobre $U(R)$ para establecer la validez de (6).

Unidad en un dominio integral $R$ lo que implica que un polinomio es irreducible en $R[X]$