¿Por qué todo simplectomorfismo del hamiltoniano del disco unitario es isotópico a la identidad?

Question

Es decir, para cualquier simplectomorfismo $\psi: D^2 \to D^2$ debe haber un hamiltoniano dependiente del tiempo H _t en D 2 tal que el flujo correspondiente en el momento 1 es igual a $\psi$ .

He encontrado esto en reclamar un papel, y creo que debería ser fácil, pero no se me ocurre nada. Estaría feliz con una referencia a una página en McDuff-Salomon, pero no pude encontrar esto allí inmediatamente.

Gracias.

Answer 1

Es un teorema de Smale que el grupo de difeomorfismos que conservan la orientación de $D^2$ , límite rel, es contraíble. Si los difeomorfismos pueden mover el límite, se puede establecer una equivalencia de homotopía entre éste y el círculo. Los difeomorfismos no tienen que preservar el área. Entonces, a teorema de Moser establece una deformación retraída de difeomorfismos a difeomorfismos preservadores de volumen. El resultado de Moser es más fácil de ver si se tiene una variedad cerrada, pero se extiende a variedades con límites con el truco de la duplicación. En conjunto, esto nos da indirectamente una curva de simplectomorfismos que conecta la identidad con $\psi$ ya que en dos dimensiones la estructura simpléctica es sólo una estructura de volumen. Finalmente si se tiene una curva suave de difeomorfismos preservadores de área de un disco, creo que existe un hamiltoniano dependiente del tiempo que se obtiene integrando el campo vectorial correspondiente.

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Yo compartía la misma preocupación que expresa Ilya en los comentarios, pero después de considerarlo, he aquí por qué creo que funciona. Para tener una visión limpia de las condiciones de contorno, dupliquemos el disco a la esfera y dejemos que todo sea equivariante con respecto a la reflexión a través del ecuador.

El teorema de Moser es realmente una retracción de la deformación. Sea $M$ sea una variedad riemanniana, y que $\mu$ sea una forma de volumen en $M$ (no necesariamente un volumen riemanniano), y que $\phi_\alpha:M \to M$ sea una familia de difeomorfismos de $M$ que puede o no preservar $\mu$ . Entonces $\mu_\alpha = (\phi_\alpha)_*(\mu)$ está "mal". Dejemos que $\mu_{\alpha,t}$ sea una familia de formas de volumen definida como la media geométrica ponderada de $\mu_\alpha$ y $\mu$ : $$\mu_{\alpha,t} = \mu^t \mu_\alpha^{1-t}.$$ Entonces hay un flujo de Moser correspondiente $\phi_{\alpha,t}$ tal que $\phi_{\alpha,0} = \phi_\alpha$ y $\phi_{\alpha,1}$ es preservar el volumen. Además, $\phi_{\alpha,t} = \phi_\alpha$ para todos $t$ si $\phi_\alpha$ ya preserva el volumen para un determinado $\alpha$ .

En particular, si $\phi_t$ es una curva de difeomorfismos producida por el teorema de Smale con $\phi_0$ la identidad, entonces Moser te da una mejora $\phi_{t,s}$ tal que $\phi_{t,1}$ es entonces lo que quieres. Lo que nos preocupa es si $\phi_{1,1} = \phi_1$ ; si $\phi_1$ es preservadora del área, entonces es verdadera.

Answer 2

Sólo quería ampliar dos puntos de la respuesta de Greg. Ambos son añadidos bastante triviales, pero me costó un poco entenderlos, así que los pongo aquí para completarlos y para mi propia referencia futura.

En primer lugar, aquí hay una imagen de la idea de Greg para arreglar el problema con el truco de Moser. En su notación, tenemos formas de volumen $\mu_{\alpha,t} = \mu^t \mu_\alpha^{1-t}$ . Se definen porque la forma de dos volúmenes debe tener el mismo signo en todas partes (ya que todo preserva la orientación; nótese que debido a esto dudo que este argumento se pueda generalizar a las formas simplécticas en dimensiones superiores).

La solución obvia, pero errónea, (descrita en mis comentarios a su respuesta) sería aplicar el teorema de Moser a $\mu_{\alpha,0}$ en esta notación. Esto correspondería a fluir a lo largo de los ejes horizontales de la imagen de abajo. Sin embargo, la idea de Greg es fluir en una dirección diferente: fijamos $\alpha$ y varían $t$ . Estrictamente hablando, también deberíamos demostrar que el flujo resultante $\phi_{\alpha,1}$ será suave, pero esto debería deducirse de la prueba del teorema de Moser con bastante facilidad.

                                         Moser flow,
                                t        defines phi_alpha,t
        (mu_{alpha,1} = mu)   1 ^          ^
                                |          .
                                |          .
                                |          .
                                |          .
   (mu_{alpha,0} = mu_alpha)  0 ----------------> alpha
 (phi_{alpha,0} = phi_alpha)    

(Tenga en cuenta que, para todos los t , $\mu_{0,t}=\mu_{1,t}=\mu$ )

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En segundo lugar, la respuesta de Greg implica que hay una isotopía $\psi_t: D^2 \to D^2$ de manera que cada $\psi_t$ es preservador del volumen (o, equivalentemente, un simplectomorfismo), $\psi_0$ es la identidad, y $\psi_1=\psi$ . Así es como encontramos el Hamiltoniano dependiente del tiempo tal que este es el flujo Hamiltoniano. Sea X _t sea el campo vectorial dependiente del tiempo que es la derivada del flujo $\psi_t$ . El hecho de que nuestro flujo preserva el volumen es equivalente al hecho de que la forma 1 $\iota_{X_t} \omega$ es estar cerrado para todos $t$ . Como estamos en un disco, esta forma también será exacta. Así pues, dejemos que $H_t$ sea la función tal que $dH_t = \iota_{X_t} \omega$ . El flujo hamiltoniano de la función $H_t$ es precisamente $\psi_t$ Esto se deduce inmediatamente de las definiciones.