Series geométricas y transformada de Fourier

Question

En mi ejemplo de solución de libro, tengo esta señal

onda cuadrada discreta

No entiendo cómo se obtiene el lado derecho a partir de la expresión de la izquierda $$\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}=e^{iMk\omega_0}\sum_{m=0}^{M-1}e^{-imk\omega_0}$$

Donde el último paso se realiza cambiando las variables y simplificando utilizando el hecho de que $$\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$$

¿Hay algún libro que pueda leer para entender estas cosas?

Answer 1

Empezando por la última expresión $$e^{iMk\omega_0}\sum_{m=0}^{M-1}e^{-imk\omega_0}$$ $$=\sum_{m=0}^{M-1}e^{iMk\omega_0}e^{-imk\omega_0}$$ $$=\sum_{m=0}^{M-1}e^{-i(m-M)k\omega_0}$$ Aquí podemos desplazar el índice por $p-M$ y ahora tenemos $$\sum_{m=p-M}^{M-1+p-M}e^{-i(m-M-p+M)k\omega_0}$$ $$=\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-i(m-p)k\omega_0}$$ $$=\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}e^{ipk\omega_0}$$ Desde $\omega_0=\frac{2\pi}{p}$ tenemos $$\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}e^{2\pi ik}$$ $$=\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}$$ Por lo tanto, $$\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}=e^{iMk\omega_0}\sum_{m=0}^{M-1}e^{-imk\omega_0}$$

Answer 2

Utilizando la propiedad de cambio de índice que establece: $$\sum_{s=p}^{N}f(x)=\sum_{s=p+M}^{N+M}f(x-M)$$

Empezando por el R.H.S y utilizando el turno de $(M-p)$ :

$$R.H.S=\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}=\sum_{m=p-M+\bf{M-p}}^{p-1+\bf{M-p}}e^{-ik\omega_0(m-(\bf{M-p}))}=\sum_{m=0}^{M-1}e^{-imk\omega_0}e^{iMk\omega_0}e^{-impk\omega_0}$$

$\because e^{iMk\omega_0}$ es una constante y $e^{-impk\omega_0}=e^{-i2\pi mk}=1$ $$\therefore L.H.S=\sum_{m=p-M}^{p-1}e^{-imk\omega_0}=e^{iMk\omega_0}\sum_{m=0}^{M-1}e^{-imk\omega_0}=R.H.S $$