Teorema del residuo de Cauchy con funciones gamma múltiples

Question

Anteriormente publiqué un problema similar aquí y aquí . Esta vez, sin embargo, estoy tratando con múltiples funciones gamma. Este es el problema con el que estoy lidiando en este momento:

$$ \int_{c\ -\ j\infty}^{c\ +\ j\infty} \left(\,x^{-1}\sigma\,\right)^{s}\, {\Gamma\left(s\right) \over \Gamma\left(s + 2\right)}\,{\rm d}s $$

donde , y x son números reales

Sé que el teorema del residuo de Cauchy es aplicable para la evaluación, pero no sé cómo se puede hacer la simplificación

Answer 1

La primera integral es relativamente sencilla porque es simplemente

$$\int_{c-i\infty}^{c+i \infty} ds \frac{e^{s t}}{s (s+1)}$$

donde $t=\log{\left ( x^{-1} \sigma \right )}$ . Se trata de una conocida transformación inversa de Laplace y puede evaluarse mediante un contorno de Bromwich cerrado a la izquierda o a la derecha según el signo de $t$ . Cuando $t \gt 0$ la integral es simplemente $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en los polos (suponiendo que $c \gt 0$ que soy); cuando $t \lt 0$ la integral es simplemente cero. Por lo tanto, la integral es

$$i 2 \pi \left (1-e^{-t} \right ) \theta(t) = i 2 \pi \left (1-\frac{x}{\sigma} \right ) \theta(\sigma-x)$$

donde $\theta$ es la función escalonada de Heaviside.