¿En qué sentido la topología étale es equivalente a la topología euclidiana?

Question

He oído decir más de una vez que en Wikipedia por ejemplo- que la topología estal en la categoría de, digamos, variedades suaves sobre $\mathbb{C}$ es equivalente a la topología euclidiana. Sin embargo, no he visto una buena explicación para esta afirmación.

Si consideramos el ejemplo relativamente sencillo de $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ me parece que un mapa étale no es más que una cobertura ramificada por una superficie de Riemann, junto con un subconjunto abierto Zariski de $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ que es disjunta del lugar de ramificación. (Si hay un error de concepto ahí, pequeño o grande, por favor hágamelo saber) La conexión con la topología euclidiana en $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ Sin embargo, no es obvio para mí.

¿Cuál es la formulación correcta de la afirmación de que las dos topologías son equivalentes, o cuál es una buena forma de compararlas?

Answer 1

Decir que la topología etale es equivalente a la euclidiana es exagerar. Por ejemplo, si se calcula la cohomología de una variedad algebraica compleja con coeficientes en $\mathbb Q$ en la topología étale, típicamente se obtiene 0. Por otro lado, es un resultado profundo que la cohomología étale de tal variedad con coeficientes en un grupo abeliano finito coincide con su cohomología en la topología euclidiana.

Del mismo modo, no se puede capturar todo el grupo fundamental con la topología étale, sino sólo sus cocientes finitos (y el hecho de que efectivamente se puedan describir los cocientes finitos del grupo fundamental mediante coberturas étale es, de nuevo, un resultado profundo).

Answer 2

Su pregunta final, es decir, cómo se compara la topología clásica y la etérea de un esquema, se responde, por ejemplo, en la sección 2 del clásico "Picard Groups of Moduli Problems" de Mumford. También hay algunas partes muy bien escritas en las notas de Vistoli sobre la descendencia sobre cómo comparar las topologías de Grothendieck en general.

Como usted dice, no hay una forma directa de comparar los dos. Lo que se hace es introducir una topología auxiliar que refina ambas. Si tomas un esquema de tipo sep. finito X en $\mathbf C$ entonces se puede poner una topología en los espacios analíticos complejos sobre X tomando para los subconjuntos abiertos aquellos mapas $U \to X(\mathbf C)$ que forman un espacio de cobertura sobre un subconjunto abierto de $X(\mathbf C)$ . Los recubrimientos son conjuntamente suryentes. Llamamos a este sitio $X_{cx}^\ast$ . Entonces todo conjunto abierto tanto en la topología étale como en la clásica son también conjuntos abiertos de este sitio, por lo que hay mapas $\alpha : X_{cx}^\ast \to X_{cx}$ y $\beta : X_{cx}^\ast \to X_{ét}$ . Además, $\alpha$ es una equivalencia de topologías. (Veo ahora que la mayor parte de lo que he dicho aquí ya se ha expuesto en el comentario de Ryan Reich).

Answer 3

He aquí otro punto de vista sobre su pregunta, en la dirección de las cubiertas (ramificadas).
1. Riemann Existe un functor de analización $X\mapsto X^{an}$ de la categoría de $\mathbb C$ -de tipo finito a la de los espacios analíticos complejos (no reducidos). Su introducción se debe principalmente a Riemann, Chow, Serre y Grothendieck. Tiene todas las propiedades deseables y, por supuesto, el conjunto de puntos de $X^{an}$ es $X(\mathbb C)$ . Teorema de existencia de Riemann afirma que este functor induce una equivalencia de categorías entre las coberturas étale finitas de $X$ y las coberturas analíticas finitas de $X^{an}$ .
Este es el resultado profundo (al que se alude en la buena respuesta de Angelo) que, en particular, arroja la identificación del grupo fundamental topológico de $X^{an}$ con una terminación del grupo fundamental teórico del esquema.

2. Grauert-Remmert En cierto sentido, la clasificación de las cubiertas algebraicas se ha reducido a la de las analíticas. Podemos entonces aplicar el siguiente resultado, debido a Grauert y Remmert :
Dejemos que $X$ sea un espacio analítico normal y $U\subset X$ un subconjunto abierto con complemento analítico. Entonces cualquier cobertura normal finita (ramificada) de $U$ se extiende de forma única a una cubierta finita normal de $X$ .
(Grothendieck, en SGA 1, dio una prueba hábil de este teorema invocando la resolución de singularidades de Hironaka)

Answer 4

Un buen comienzo es leer el capítulo 21 de Libro de texto de Milne sobre cohomología etale . Sospecho que los resultados allí no se indican con la máxima potencia, pero al menos te da una idea de lo que es cierto.