Un completo DVR $A$ es un $\Bbb Z_p$ módulo, el campo local de Serre

Question

Me cuesta entender cómo se obtiene un $\Bbb Z_p$ acción en la última línea de esta declaración en la página 36 de los campos locales de Serre

En particular

Observe que $\Bbb Z$ inyecta en $A$ y por continuidad $\Bbb Z_p$ inyecta en $A$ .

¿Puede alguien explicar los detalles?

Answer 1

La inyección $f:\mathbb{Z}\to A$ puede ampliarse a $\mathbb{Z}_p$ escribiendo cada elemento de $\mathbb{Z}_p$ como límite de elementos de $\mathbb{Z}$ utilizando la integridad de $A$ . En concreto, dado $x\in\mathbb{Z}_p$ , elija una secuencia $(x_n)$ de enteros que convergen a $x$ en el $p$ -Topología de la adicción. Obsérvese entonces que la secuencia $(f(x_n))$ es Cauchy con respecto a la topología de valoración de $A$ : si $m$ y $n$ son grandes, entonces $x_n-x_m$ es divisible por una gran potencia de $p$ , lo que significa que $f(x_n)-f(x_m)$ tiene una gran valoración desde $v(p)\geq 1$ . Por lo tanto, por la integridad de $A$ , $(f(x_n))$ converge a un elemento de $A$ podemos definirlo como $f(x)$ . Es fácil ver que este elemento es en realidad independiente de la secuencia elegida (la diferencia entre dos secuencias cualesquiera es eventualmente divisible por potencias arbitrariamente grandes de $p$ por lo que sus imágenes bajo $f$ se acercan en $A$ ). Del mismo modo, es fácil ver que la extensión de $f$ a $\mathbb{Z}_p\to A$ definido de esta manera es un homomorfismo. Por último, la extensión es inyectiva porque todo ideal no nulo en $\mathbb{Z}_p$ es generada por alguna potencia de $p$ pero el núcleo no puede contener ninguna potencia de $p$ ya que el original $f:\mathbb{Z}\to A$ era inyectiva.

(¿Qué tiene esto que ver con la "continuidad"? Bueno, $f:\mathbb{Z}\to A$ es continua con respecto a la $p$ -Topología de la adicción en $\mathbb{Z}$ También debido a la suposición de que $v(p)\geq 1$ por lo que esta extensión es la única forma de ampliar $f$ continuamente a todos los $\mathbb{Z}_p$ .)