Las unidades de la solución ODE no coinciden

Question

Tengo que resolver la ecuación diferencial: $v\,'=g-cv$ .

Perdón por adelantado por la falta de látex. Lo aprenderé pronto, por favor déjame hacer una pregunta usando la notación de programación común para mis expresiones, como * para producto, ^ para exponenciación, ' para derivada.

Donde $v$ es la velocidad, por lo que tiene unidades de distancia/tiempo, por lo que su derivada tiene unidades de aceleración, $g$ es la aceleración y $c$ es una constante con unidades 1/tiempo, por lo que los 3 términos tienen las mismas unidades.

En este momento no me preocupa encontrar todas las soluciones, o encontrar el máximo intervalo de existencia, me preocupan las unidades de la solución que salió de mi ecuación, esta es mi aproximación a la solución:

1) $v\,'=g-cv$ la separación de variables
2) $\displaystyle\frac{v\,'}{g-cv}=1$ entonces la integración con respecto a la variable $t$ ( asume $v=v(t)$ )
3) $\displaystyle\frac{ln(g-cv)}{-c}=t+K$ con $K$ una constante con unidades de tiempo.

Hasta ahora, ambos bandos han igualado sus unidades. Me preocupa un poco tomar el logaritmo de g-cv, pero sigo adelante, resolviendo para v:

4) $\displaystyle v=\frac{g-e^{-c(t+k)}}{c}$

Ahora tengo una aceleración g que se suma a una exponencial, que me parece que no tiene unidad.

¿Qué hay de malo en esto? ¿Puedo hacer lo que hice o algunos pasos están mal?

Answer 1

No hay troibles con unidades. Mira, encontramos la solución de $$ \frac{dv}{g-cv} = dt; $$ Bien, intégralo: $$ \int_{v_0}^v \frac{dv}{g-cv} = \int_{t_0}^{t} dt\Longrightarrow \ln\frac{g-cv}{g-cv_0}=-c(t-t_0). $$ Como puede ver, tanto el registro como el $ct$ son sin unidad. Podemos expresar $v$ : $$ \ln\frac{g-cv}{g-cv_0}=-c(t-t_0) \Longrightarrow v=\frac gc - \left(\frac gc-v_0\right)e^{-c(t-t_0)} $$

EDITAR (respuesta al comentario). Hay algún truco. En matemáticas, si tenemos la ecuación $$ y'=f(y)g(x), $$ simplemente escribimos $$ \frac{dy}{f(y)}=g(x)\,dx. $$ Es cierto independientemente de las unidades. Pero para las variables sin unidades puede escribir $$ \int\frac{dy}{f(y)}=\int g(x)\,dx + C; $$ esta constante $C$ también es sin unidades. Pero es una notación corta para $$ \int_{y_0}^y \frac{dy}{f(y)}=\int_{x_0}^x g(x)\,dx. $$ A grandes rasgos, en realidad escribimos $$ \int\frac{dy}{f(y)} + C_1 =\int g(x)\,dx + C_2, $$ y $C_1$ y $C_2$ son constantes unitarias. En el caso sin unidades, $C=C_2-C_1$ . En su caso, $K$ no es un tiempo. Espero que esta explicación sea útil.