Descomposición del grassmanniano

Question

Dejemos que $V$ y $W$ sean dos espacios vectoriales de dimensión $n$ cada uno. Entonces, ¿existe una descomposición del grassmanniano $G(r, V\oplus W)$ en términos de $G(r,V)$ y $G(r,W)$ ? Espero algo similar a la descomposición de la cuña. Mi opinión es que es la suma directa de los productos cartesianos de $G(k,V)$ y $G(l,W)$ tal que $k+l=r$ . ¿Es esto cierto?

Answer 1

No creo que haya una forma razonable de construir $Gr(r,V\oplus W)$ de la $Gr(k,V)$ y $Gr(l, W)$ 's.
Por ejemplo $Gr(1,\mathbb C\oplus \mathbb C)=\mathbb P^1(\mathbb C)$ una variedad proyectiva compleja de dimensión $1$ .
Pero el $Gr(k,\mathbb C)$ son conjuntos con sólo $1$ elemento si $k=0$ o $k=1$ y $Gr(k,\mathbb C)=\emptyset$ pour $k\geq 2$ .
¿Cómo se puede construir $\mathbb P^1(\mathbb C)$ de piezas que son conjuntos únicos o vacíos?