Índice Morse y mínimo/máximo local

Question

Tengo una función en 3D. El índice de Morse para uno de sus puntos críticos es 2 y el otro es 3. ¿Cuál es el máximo local y cuál es el punto de silla?

Answer 1

Un índice Morse de 3 significa (según tu definición) que hay tres direcciones ortogonales en las que la función es cóncava hacia abajo. Eso hace que sea un máximo local, suponiendo que su función es realmente una función de Morse (es decir, todos los puntos críticos no degenerados).

Para decirlo de otra manera, un índice Morse de 3 significa que hay coordenadas locales $xyz$ en una zona de $P$ tal que $x(P) = y(P) = z(P) = 0$ y su función, $f$ , en estas coordenadas, parece $f(x, y, z) = -x^2 -y^2 -z^2$ de segundo orden.