¿Cómo puedo encontrar un mod con número negativo?

Question

Sé cómo resolver el mod usando la división, es decir

$$11 mod 7 = 4$$

Para ello hice una simple división y tomé su resto:

es decir

$$11 = 7(1) + 4$$

Donde $11$ era el dividendo, $7$ divisor, $1$ cociente y $4$ era el resto.

Pero tengo un problema con:

$$-11 mod 7 = 3$$

¿Cómo es que $3$ ? No puedo resolver esto usando la división pero si es posible me gustaría hacerlo.

Answer 1

Es $3$ porque $-11 = 7(-2) + 3$ .

Otra forma de ver esto es tomar $-11$ y seguir añadiendo $7$ hasta obtener un número positivo. Esto funciona porque, si estás trabajando en módulo $7$ , añadiendo a continuación $7$ es lo mismo que no cambiar el número (modulo $7$ ). Así que:

$-11 + 7 \equiv -11 \pmod 7$ y $-11 + 7 = -4$ . Por lo tanto, $-4 \equiv -11 \pmod 7$ . Bueno, seguimos siendo negativos. Hagámoslo de nuevo:

$-4 + 7 \equiv -11 \pmod 7$ y $-4 + 7 = 3$ . Por lo tanto, $3 \equiv -11 \pmod 7$ .

O, lo que es lo mismo, $-11 \equiv 3 \pmod 7$ .

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¿Cómo sabemos que hay que utilizar $-2$ ? Recordemos primero cómo funciona con los positivos.

Si quiere evaluar $31 \pmod 7$ , primero reconoces que $31 = 28 + 3 = 7 \cdot 4 + 3$ . Por lo tanto, $31 \equiv 3 \pmod 7$ . ¿Qué hemos hecho aquí? Encontramos el mayor múltiplo de $7$ que sea menor o igual a $31$ .

Alternativamente, con la división, se puede evaluar $31/7 \approx 4.429$ . El mayor número entero menor o igual a éste es $4$ . Por lo tanto, $31 = 7 \cdot 4 + \text{some number}$ donde su objetivo es determinar qué $\text{some number}$ es.

Este mismo proceso se aplica a los números negativos.

Si quiere evaluar $-11 \pmod 7$ , necesitas el mayor múltiplo de $7$ que sea menor o igual a $-11$ . Esto es $-14$ . Y $-14 + 3 = -11$ Por lo tanto, su respuesta es $3$ .

Alternativamente, con la división, se puede evaluar $-11/7 \approx -1.571$ . El mayor número entero menor o igual a éste es $-2$ . Por lo tanto, $-11 = 7 \cdot (-2) + \text{some number}$ donde su objetivo es determinar qué $\text{some number}$ es.