Puede encontrar soluciones para, por ejemplo, la 1D Schrödinger ecuación $-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi_{xx}(x,t) + V(x, t)\Psi(x, t) = i\hbar\Psi_{t}(x,t)$ asumiendo las soluciones de la forma $\Psi(x,t) = X(x)T(t)$. ¿Cómo sabemos que no hay otras soluciones (potencialmente incontroladas, pero todavía matemáticamente válidas) donde $x$ y $t$ no son independientes? ¿El hecho de que usted puede arbitrarias combinaciones lineales de las soluciones separables para la construcción de una nueva solución "compensar" el hecho de que no vaya buscando los inseparables?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
De hecho, estamos utilizando separables soluciones para construir no separables.
Supongamos $\psi_1 = e^{-\frac{i}{\hbar}E_1t}\phi_1(x)$ $\psi_2 = e^{-\frac{i}{\hbar}E_2 t}\phi_2(x)$ son dos soluciones de la ecuación de Schrödinger, donde $\phi_i$'s son el vector propio de valor propio $E_i$ para el operador $H = -\frac{\hbar}{2m}\Delta + V$, entonces la superposición $$\psi_{12} = \alpha_1 \psi_1 + \alpha_2 \psi_2$$ no es separable.
La separación proviene de la heurística que para un estado $\psi(x,0)$ "evoluciona" con el tiempo, y a partir de la evolución operador podemos obtener la solución en el tiempo $t$: $$ \psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\manejadores}H t}\psi(x,0), $$ que es intrínsecamente separables para cada término de la expansión de los autovalores de a $H$: $$ e^{-\frac{i}{\manejadores}H t} = \sum_{n} |{\phi_n}\rangle e^{-\frac{i}{\manejadores}E_n t}\langle{\phi_n}|, $$ traducido en matemáticas notaciones: $$ \psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\manejadores}H t} |\psi_{t=0}\rangle = \sum_{n} |{\phi_n}\rangle e^{-\frac{i}{\manejadores}E_n t}\langle{\phi_n}|\psi_{t=0}\rangle = \sum_{n} \alpha_n e^{-\frac{i}{\manejadores}E_n t}\phi_n(x), $$ donde $\alpha_n$ del producto interior $\langle{\phi_n}|\psi_{t=0}\rangle$. Cada uno de los términos es separable, pero no $\psi(x,t)$.
En general, podemos conseguir que no separables de la solución a partir de la evolución de la separables eigen-solución en diferentes niveles de energía.
Aparte de Christopher A. Wong dijo acerca de la existencia y unicidad, otra razón por la que estamos más interesados en la separables solución es debido a su significado físico, por ejemplo el tiempo de armónica de la onda de $\psi(x,t) = e^{-i\omega t} \phi(x)$.
