La categoría de espacios métricos compactos

Question

Denotemos por $(\mathrm{CompMet})$ la categoría de espacios métricos compactos con mapas de Lipschitz como morfismos. Estoy interesado en las propiedades de esta categoría. Me parece que tiene productos finitos (tomar el producto cartesiano habitual con la métrica máxima) e igualadores (sólo restringir la métrica), por lo tanto todos los límites finitos. ¿Hay alguna prueba rigurosa de que no existen productos infinitos? Nótese que el functor olvidadizo $(\mathrm{CompMet}) \to (\mathrm{Set})$ es representable (por el punto), por lo que preserva todos los límites. En particular, el conjunto subyacente de un producto infinito tiene que ser el producto cartesiano habitual.

En cuanto a los colímites, creo que existen coproductos finitos. El coproducto vacío es el espacio vacío. El coproducto de dos espacios métricos compactos $X,Y$ tiene como conjunto subyacente la unión disjunta $X \coprod Y$ . La distancia se define como sigue: Para dos puntos en $X$ o en $Y$ utilizar las métricas de $X$ y $Y$ . Para $x \in X$ , $y \in Y$ , defina $d(x,y):=c$ para una constante $c$ que es al menos $\max(diam(X),diam(Y))/2$ . Entonces obtendremos un espacio métrico y se podrá verificar la propiedad universal. Mientras tanto he comprobado los detalles; ¿conoces alguna referencia de esta construcción? (Aquí es crucial que trabajemos con mapas de Lipschitz. Creo que la noción de distancia de Gromov-Hausdorff tiene que ver con el fracaso de la categoría de espacios métricos compactos con isometrías como morfismos que tienen coproductos).

Ahora bien, ¿qué pasa con los coproductos infinitos o con los simples coigualadores? Observemos que la categoría de espacios compactos de Hausdorff tiene colímites arbitrarios, aunque el functor de olvido a espacios topológicos no los preserva. Aquí la compactación de Stone-Cech es crucial. Por lo tanto, una pregunta relacionada: ¿El funtor de olvido $(\mathrm{CompMet}) \to (\mathrm{Set})$ tiene un adjunto izquierdo?

Answer 1

Una prueba rigurosa de que el producto infinito de espacios de 2 puntos contablemente numerosos $A_n = \{0,1\}$ no existe: (En realidad, sólo es una elaboración del comentario de Martin).

Supongamos que $P$ es un producto de este tipo, entonces $P$ debe ser $\prod_n A_n$ como un conjunto. Sea $e_n$ sea la distancia (en $P$ ) entre el $0$ -y la función $x_n$ que toma el valor $1$ sólo en el $n$ -el cuarto lugar. La secuencia $(e_n)$ debe converger a $0$ porque el $x_n$ convergerá a la $0$ función. (Deben converger por compacidad, y la continuidad de las proyecciones significa que todas las entradas del límite deben ser $0$ .) [EDIT: Como señaló Martin Brandenburg, la compacidad no es suficiente para demostrar la convergencia de toda la secuencia, sino sólo de alguna subsecuencia $(e_{n_i})$ . Para simplificar la nota, se ha incluido un $n_i=i$ para todos $i$ ; de lo contrario se restringe la atención de $(x_n)$ , $(e_n)$ , $(d_n)$ a las respectivas subsecciones $(x_{n_i}$ , $(e_{n_i})$ , $(d_{n_i})$ a partir de ahora].

Dejemos que $(d_n)$ sea una secuencia de números reales que convergen a $0$ pero más lentamente que $(e_n)$ es decir, $e_n = o(d_n)$ . (Por ejemplo, $e_n=\sqrt{d_n}$ .) Sea $Q = \prod A_n$ pero con la siguiente métrica: $d(x,y) = e_n$ , si $x$ y $y$ están de acuerdo en la primera $n$ valores, pero no en el siguiente. Proyecto $Q$ a cada $A_n$ $-$ estos mapas son Lipschitz-continuos. Por lo tanto, son un factor a través de un mapa de $Q$ a $P$ . Ahora este mapa debe ser la identidad (aplicar el functor de olvido); pero los puntos con distancia $e_n$ se asignan a puntos con distancia $d_n$ , lo que no es posible para una función Lipschitz.

Answer 2

Los coproductos infinitos no existen. Por ejemplo, supongamos $C$ fueran un coproducto de un número contablemente infinito de $1$ -espacios de puntos. Los mapas de inclusión de estos $1$ -espacios de puntos entonces dan una secuencia $(x_n)$ de puntos de $C$ . Desde $C$ es compacto, alguna subsecuencia $(x_{n_k})$ debe converger. Pero ahora puedes tomar cualquier espacio métrico compacto $Y$ con una secuencia $(y_k)$ que no converge. Por la propiedad universal de $C$ debe existir un mapa Lipschitz $C\to Y$ que envía $x_{n_k}$ a $y_k$ (y el $x_n$ que no son de la forma $x_{n_k}$ hasta donde quieras en $Y$ ). Pero ni siquiera existe tal mapa que sea continuo, ya que $(x_{n_k})$ converge y $(y_k)$ no lo hace. (Este ejemplo también muestra que el functor olvidadizo a Conjuntos no tiene un adjunto izquierdo, ya que tal adjunto izquierdo necesitaría enviar $\mathbb{N}$ a dicho coproducto).

Los coequivalentes existen. De hecho, es más fácil demostrar simplemente que existen cocientes por relaciones de equivalencia arbitrarias. Los cocientes por relaciones de equivalencia arbitrarias existen en la categoría de espacios métricos y mapas de Lipschitz con constante de Lipschitz $1$ (por ejemplo, véase esta respuesta mía sobre MO ), y un cociente de un espacio métrico compacto es compacto ya que el mapa cociente es suryente. Estos cocientes tienen la misma propiedad universal cuando se permiten mapas de Lipschitz con constante de Lipschitz arbitraria, ya que un mapa $f:X\to Y$ es Lipschitz con constante $K$ si es Lipschitz con constante $1$ cuando se reescala la métrica en $Y$ por $1/K$ .