Acción de PGL(2) sobre el espacio proyectivo

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, y que $G = PGL_2(k)$ sea el grupo lineal general proyectivo de $k$ y que $X = k \cup \{ \infty \}$ sea un espacio proyectivo unidimensional sobre $k$ . Entonces $G$ actúa sobre $X$ (mediante transformaciones lineales fraccionarias). Esta acción tiene las siguientes propiedades:

1) La acción de $G$ en $X$ es simplemente 3-transitivo. Es decir, actúa simplemente de forma transitiva sobre el conjunto de las 3 parejas de elementos distintos de $X$ . (Editado como se indica en los comentarios).

2) Supongamos que $x,y \in X$ son elementos distintos y que $g \in G$ satisface $gx = y$ , $gy = x$ . Entonces $g$ tiene orden $2$ .

¿Es cierto lo contrario? (Es decir, si nos dan una acción de un grupo $G$ en un conjunto $X$ Si se cumplen los puntos 1) y 2), ¿se deduce que $G = PGL_2(k)$ para algún campo $k$ , con su acción natural sobre $k \cup \{ \infty \}$ ?

(Esto es cierto al menos cuando $G$ y $X$ son finitos: se puede deducir del teorema de Frobenius sobre los grupos de Frobenius).

Answer 1

Un campo KT $(F,+,\times,\sigma)$ consiste en un neodominio $(F,+,\times)$ junto con una involución automorfismo $\sigma$ satisfaciendo $$\sigma(1 + \sigma(x)) = 1 - \sigma(1 + x)$$ para todos $x \in F \setminus \{0,1\}$ . (Mi impresión es que los neardominios son entidades bastante débiles, por ejemplo $F^{\times}$ se requiere que sea un grupo pero puede no ser conmutativo, $(F,+)$ ni siquiera es necesariamente un grupo. El lector industrioso de MO añade la definición de un neardominio a esta respuesta si lo desea). Enérgicamente $3$ -los grupos transitivos están determinados hasta el isomorfismo como grupos de permutación en $\mathbf{P}^1(F) = F \cup \{ \infty \}$ consistente en mapas de la forma:

(i): $x \mapsto a + m x, \quad \infty \mapsto \infty$

(ii): $x \mapsto a + \sigma(b + m x), \quad \infty \mapsto a, \quad - m^{-1} b \mapsto \infty$ ,

donde $a,b \in F$ y $m \in F^{\times}$ .

Consideremos el conjunto de elementos $\gamma \in G$ tal que $\gamma(0) = \infty$ y $\gamma(\infty) = 0$ . Están dadas exactamente por mapeos de la forma $$\gamma: x \mapsto \sigma( \lambda x)$$ para cualquier $\lambda \in F^{\times}$ . Si todos estos $\gamma$ tienen un orden de dos, entonces $$\sigma(\lambda \sigma(\lambda x)) = x$$ para todos $x, \lambda \in F^{\times}$ . Configurar $x = \lambda^{-1}$ se deduce que que $\sigma(\lambda) = \lambda^{-1}$ para todos $\lambda \in F^{\times}$ . Desde $\sigma$ es un automorfismo, se deduce que $F^{\times}$ es conmutativa. De un teorema de Kirby (véase más adelante), se deduce que $(F,+,\times)$ es en realidad un campo conmutativo, y $G = \mathrm{PGL}_2(F)$ .

Todos los resultados y definiciones de esta respuesta pueden extraerse de la revisión matemática: MR0997066 (91b:20004a) de un documento de William Kerby

Una clase de grupos canónicos fuertemente 3-transitivos , Resultados Matemáticos. 16 (1989), nº 1-2, 89-106 (doi: 10.1007/BF03322647 ).

El papel es sólo $3$ -páginas, por lo que asumo que es relativamente elemental -aunque yo mismo no puedo acceder a él, y es posible que se refiera a resultados anteriores. (A decir verdad, todo lo que hice fue teclear "sharply 3-transitive" en mathscinet, no sé lo que es un neardominio). En caso de que tu propósito real sea generalizar este resultado a $(\infty,\pi)$ -categorías de whatzit con centros cremosos de arroz con leche, es posible que desee echar un vistazo al papel real.