Sistema de raíces cristalográficas Grupos de Coxeter

Question

En el libro de Humphreys en "Reflection Groups and Coxeter Groups" define un sistema de raíces $\Phi$ es cristalino si satisface $\frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)} \in \mathbb{Z}$ $(\star)$ para todos $\alpha, \beta \in \Phi$ y afirma que basta con exigir que los cocientes sean enteros cuando $\alpha, \beta \in \Delta$ , donde $\Delta$ es el sistema simple de un grupo Coxeter (los elementos de $\Phi$ son o bien no negativos o bien combinaciones lineales no positivas de los elementos de $\Delta$ y $\Delta$ es una base del espacio vectorial donde actúa el grupo Coxeter).

Teniendo el resultado $(\star)$ para los elementos de $\Delta$ no veo cómo demostrar que esto es válido para los elementos de $\Phi$ .

Gracias de antemano

Answer 1

Por la hipótesis de las raíces simples, sabemos que si $\alpha, \beta \in \Delta$ entonces $s_\alpha(\beta)$ es una combinación lineal integral de $\alpha$ y $\beta$ . Desde $\{s_\alpha: \alpha \in \Delta\}$ genera $W$ entonces para cualquier $w \in W$ , $\beta \in \Delta$ sabemos que $w \beta$ es una combinación lineal integral de elementos de $\Delta$ . Pero cada raíz en $\Phi$ es de la forma $w \beta$ (Corolario 1.5) y por tanto es una combinación lineal integral de elementos de $\Delta$ .

Ahora el resto es fácil. Para demostrar que $f(\alpha,\beta) := \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta,\beta)} \in \mathbb{Z}$ para la arbitrariedad $\alpha, \beta \in \Phi$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f(\alpha,\beta)$ es invariable bajo $W$ Así pues, sustituyendo $(\alpha,\beta)$ por $(w\alpha, w\beta)$ para un adecuado $w \in W$ podemos suponer que $\beta \in \Delta$ . A continuación, observe que $f(\alpha, \beta)$ es lineal en $\alpha$ por lo que podemos suponer $\alpha \in \Delta$ también, y estamos hechos por nuestra suposición original de que $f(\alpha,\beta) \in \mathbb{Z}$ para $\alpha, \beta \in \Delta$ .