Limitar con una torre de gran potencia

Question

Encontrar el valor de los siguientes límites: $$\enorme\lim_{x\to\infty}e^{e^{e^{\biggl(x\,+\,e^{-\left(a+x+e^{\Large x}+e^{\Large e^x}\right)}\biggr)}}}-e^{e^{e^{x}}}$$

(imagen original)

Yo no sé ni cómo empezar. (este problema fue compartida en Brilliant.org)

Algunas de las ideas que he intentado es tomar el logaritmo natural de esta expresión y la reducirá a $\ln(a/b)$, a continuación, utilizar L'Hôpital pero que hizo falsas!!

Sé que el valor del límite es $e^{-a}$, pero por favor, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Vamos a observar que el límite es de la forma $$ f\left(x+\frac{\alpha}{f'(x)}\right) - f\left(x\right) $$ donde $f(x)=e^{e^{e^x}}$ y $\alpha=e^{-a}$. Dado que $f$ es derivable, tenemos $$ f\left(x+\frac{\alpha}{f'(x)}\right) - f\left(x\right)= \frac{\alpha}{f'(x)}f'\left(x+\xi\right) $$ para algunos $0\leq \xi \leq \frac{\alpha}{f'(x)}$. Queda por demostrar que $f$ es continua "suficiente" para que este límite a converger como parece que debe, que es $$ \frac{f'\left(x+\xi\right)}{f'\left(x\right)}\a 1 $$ Voy a tratar de encontrar alguna forma inteligente de hacer esto.

Edit: Bien, de la fuerza brutal va a hacer. Tenemos $$ \xi\leq \alpha\, e^{-e^{e^x}}e^{-e^x}e^{-x} $$ Ahora, $$ \frac{f'\left(x+\xi\right)}{f'\left(x\right)}= e^{e^{e^{x+\xi}}-e^{e^x}} e^{e^{x+\xi}-e^x}e^\xi $$ Obviamente, $e^\xi\a 1$. Además, por encima de la desigualdad, $$ e^{x+\xi}-e^x=e^x\a la izquierda(e^\xi - 1\right)=e^xO\left(\xi\right)\a 0 $$ y $$ e^{e^{x+\xi}}-e^{e^x}=e^{e^x}\left(e^{e^{x+\xi} -e^x}-1\right)= e^{e^x}O\a la izquierda(e^{x+\xi} -e^x\right)=e^{e^x}e^x O\left(\xi\right)\a 0 $$ Que termina la prueba.

Answer 2

Aquí es una manera muy sencilla utilizando sólo la expansión asintótica $e^t \1+t+Θ(t^2)$ $t \to 0$

Como $x \to \infty$:

$\Grandes e^{e^{e^{x+e^{−\big(a+x+e^x+e^{e^x}\big)}}}}−e^{e^{e^x}}$

$\Grande = e^{e^{e^xe^y}} − e^{e^{e^x}}$, donde $\grandes y = e^{−e^{e^x}-e^x-x-a} \en o(1)$

$\Large \e^{e^{e^x\big(1+y+Θ(y^2)\big)}}-e^{e^{e^x}} \subseteq e^{e^{e^x\bigg(1+e^{−e^{e^x}-e^x-x-a}+Θ\big(e^{-2e^{e^x}-2e^x-2x}\big)\bigg)}}-e^{e^{e^x}}$

$\Grande = e^{e^{e^x}e^z}-e^{e^{e^x}}$, donde $\gran z = e^{-e^{e^x}-e^x-a}+Θ\big(e^{-2e^{e^x}-2e^x-x}\big) \subseteq o(1)$

$\Large \subseteq e^{e^{e^x}\big(1+z+Θ(z^2)\big)}-e^{e^{e^x}} \subseteq e^{e^{e^x}\bigg(1+e^{−e^{e^x}-e^x-a}+Θ\big(e^{-2e^{e^x}-2e^x}\big)\bigg)}-e^{e^{e^x}}$

$\Grande = e^{e^{e^x}}e^w-e^{e^{e^x}}$, donde $\gran w = e^{−e^{e^x} -}+Θ\big(e^{-2e^{e^x}-e^x}\big) \subseteq o(1)$

$\Large \subseteq e^{e^{e^x}} \large \big(1+w+Θ(w^2)\big) \Grandes - e^{e^{e^x}} \subseteq e^{e^{e^x}} \large \big(1+e^{−e^{e^x} -}+Θ(e^{−2e^{e^x}})\big) \Grandes - e^{e^{e^x}}$

$\Grande = e^{-a} + \gran Θ\big(e^{−e^{e^x}}\big)$

Observe cómo de rápido el límite converge! Si de mayor orden de los términos de error son deseado, uno se tiene que aumentar el número de términos que se utilizan en la expansión de la función exponencial.

Notas

Este método es completamente rigurosa (que puede ser verificada de forma explícita que encontrar los valores adecuados para las constantes ocultas en la notación asintótica) y, de hecho, esto es más o menos cómo el mejor equipo de álgebra sistemas de encontrar generalizada expansiones asintóticas (incluso si no hay un desarrollo en serie de Taylor). Por la misma razón, este método no requiere ningún pensamiento; sólo el trabajo de adentro hacia afuera y ampliar lo que puede ser ampliado, llevar un seguimiento de los términos de error usando asintótica de los límites.

Una pregunta natural es ¿cómo saber cuántos términos son necesarios en cada expansión. Una de ellas es simplemente adivinar y ver qué pasa. Si en algún momento el importante término en sí mismo es cancelada, se puede trazar hacia atrás a los lugares donde necesitamos un asintóticamente más precisa de expansión. Si el resultado final tiene menos términos de lo deseado, asimismo, podemos de manera determinista identificar los lugares donde necesitamos más términos en la expansión.

Answer 3

Ha sido un tiempo desde que he tenido para el cálculo de dicho límite, pero la estrategia general es la siguiente:

Deje que $F(x) = \exp(\exp(\exp{x})))$ y $\delta(x) = \exp(- x - \exp{x} - \exp(\exp{x}))$. A continuación se nos pide calcular el límite

$$ L = \lim_{x \rightarrow \infty} F(x + \delta(x)) - F(x) $$

Note que $\delta(x) \rightarrow 0$. Por la diferenciabilidad, podemos escribir $$ F(x + \delta(x)) = F(x) + F'(x) \delta(x) + E(x)$$ donde $E(x)$ es un término de error (muy difícil de calcular de forma explícita). Entonces $$ L = \lim_{x \rightarrow \infty} F'(x) \delta(x) + E(x).$$ Note que $F'(x) \delta(x) = \exp(-a)$ para todo $x$. Por lo tanto, queda por demostrar que $$ \lim_{x \rightarrow \infty} E(x) = 0$$ Por Taylor teorema, el resto $E(x)$ satisface el límite superior $$ |E(x)| \le \frac{ |f"(\xi)|}{2} \delta(x)^2, $$ para algunos $\xi$ tales que $x \le \xi \le x + \delta(x)$. Después de calcular explícitamente $f"(x + \delta)$, entonces uno puede ver que este límite superior se desvanece como $x \rightarrow \infty$.