$T:V→V$ es una transformación lineal tal que $T\circ T(x)$ es invertible. Demostrar que $T$ también es invertible.

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $n\in\mathbb{N}$ y $T:VV$ una transformación lineal tal que $T\circ T(x)$ es invertible. Demostrar que $T$ también es invertible.

Estoy pensando en utilizar el Teorema que dice: Si $T:VW$ es una transformación lineal invertible con inversa $T^{-1}:WV$ entonces $T^{-1}$ es una transformación lineal.

¿Algún consejo sobre cómo debería solucionar este problema?

Answer 1

Sugerencia :

Para cualquier mapa $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ ,

• $g\circ f$ inyectiva implica $f$ inyectiva,
• $g\circ f$ implica que $g$ surjective.

Answer 2

Una pista: $\det(T^2)=(\det T)^2$ .

Answer 3

Si $T\circ T$ tiene inversa entonces existe $S$ que da $(T\circ T)\circ S=1\!\!1$ pero si usamos la asociatividad de la composición entonces $T\circ (T\circ S)=1\!\!1$ también, por lo tanto $T$ tiene inversa, que es $T\circ S$ .

Answer 4

Una prueba por contraposición es rápida y fácil:

Supongamos que $T$ fueron no invertible; entonces

$\exists V \ni x \ne 0, \; Tx = 0; \tag 1$

entonces

$T^2(x) = T(Tx) = T(0) = 0, \tag 2$

y por lo tanto $T^2$ tampoco es invertible.

Ahora tomando el contrapositivo se obtiene el resultado deseado.