Estimación que implica la casi ortogonalidad

Question

Dejemos que $\{x_k\}$ ser un $\frac{1}{R}$ -conjunto de puntos separados en $S^{d-1}$ . Entonces $$ \left\|\sum_ka_ke^{ix_k\cdot\xi}\right\|_{L^2\left(B\left(0,R\right)\right)}\lesssim R^{d/2} \left(\sum_k|a_k|^2\right)^{1/2}, $$ donde $B\left(0,R\right)$ es la bola de radio $R$ en $\mathbb{R}^d$ .

El autor afirma que el resultado se deriva de la casi ortogonalidad de $\{e^{ix_k\cdot\xi}|_{B\left(0,R\right)}\}$ . Intenté ampliar el cuadrado, pero tuve problemas para estimar los productos mixtos.

También he probado a utilizar Lema de Cotlar-Stein es decir, definir los operadores $T_k:l^{N}\to L^2\left(B\left(0,R\right)\right)$ como $T_k\left(a\right)=a_ke^{ix_k\cdot\xi}$ , donde $N$ es el número de puntos en $S^{d-1}$ . Entonces $\|T_kT_l^*\|=c_d\delta_{kl}R^{d}$ , donde $c_d$ es el área de la bola unitaria, y $\|T_k^*T_l\|=R^d|\int_{B\left(0,1\right)}e^{iR\left(x_k-x_l\right)\cdot\xi}\,d\xi|\lesssim R^{\left(d-1\right)/2}\frac{1}{|x_k-x_l|^{\left(d+1\right)/2}}$ si $k\neq l$ y $\|T_k^*T_k\|\sim R^d$ .

Tenemos $\sum_l\|T_kT_l^*\|^{1/2}\sim R^{d/2}$ pero $\sum_l\|T_k^*T_l\|^{1/2}\lesssim R^{\left(d-1\right)/4}\left(R^{\left(d+1/4\right)}+\sum_{\substack{l=1\\ l\neq k}}^N\frac{1}{|x_k-x_l|^{\left(d+1\right)/4}}\right)$ y en el peor de los casos $N\sim R^{d-1}$ por lo que el término de la suma podría ser bastante grande.

Parece que el autor demuestra este lema fácilmente, pero no sé cómo. Gracias.

Answer 1

La siguiente prueba de su reclamación utiliza una forma algo diferente de "ortogonalidad", es decir, de las traslaciones de una determinada función en el lado de Fourier.

A continuación, utilizo la versión $\widehat{f}\left(\xi\right)=\int f\left(x\right)e^{-2\pi i\left\langle x,\xi\right\rangle }\, dx$ de la transformada de Fourier. Puede ser que se me escapen algunos factores de $2\pi$ abajo. Espero que se pueda disculpar.

Arreglemos $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d})$ con la propiedad que $\widehat{\varphi}\in C_{c}^{\infty}\left(B_{1}\left(0\right)\right)$ con $\widehat{\varphi}\geq0$ y $\varphi\left(0\right)=\int\widehat{\varphi}\, dx=2$ . Aquí, la primera igualdad proviene de la inversión de Fourier. La existencia de tal función es un resultado estándar.

Como $\varphi$ es continua con $\varphi\left(0\right)=2$ , allí hay algo de $r>0$ tal que $\left|\varphi\left(x\right)\right|\geq1$ es válida para todos los $\left|x\right|\leq r$ . Al encoger $r$ podemos suponer que $4\pi r\leq1$ . Entonces, la familia $\left(x_{k}\right)_{k}$ es a fortiori también $\frac{4\pi r}{R}$ -separado.

Considere $$\varphi_{R}\left(x\right):=\left(\frac{r}{R}\right)^{d}\cdot\varphi\left(\frac{r}{R}x\right).$$ Tenemos entonces (cálculo fácil) $\left\Vert \varphi_{R}\right\Vert _{2}=\left(\frac{r}{R}\right)^{d/2}\cdot\left\Vert \varphi\right\Vert _{2}$ , así como $\left|\varphi_{R}\left(x\right)\right|\geq\left(\frac{r}{R}\right)^{d}$ para $\left|x\right|\leq R$ y la transformada de Fourier de $\varphi_{R}$ viene dada por $$ \widehat{\varphi_{R}}\left(\xi\right)=\widehat{\varphi}\left(\frac{R}{r}x\right) $$ que se apoya en $B_{r/R}\left(0\right)$ .

Para $\xi\in\mathbb{R}^{d}$ y $f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{C}$ , escribir $\left(M_{\xi}f\right)\left(y\right):=e^{2\pi i\left\langle \xi,y\right\rangle }$ y $\left(L_{\xi}f\right)\left(y\right):=f\left(y-\xi\right)$ . Como modulación corresponde a la traslación en el lado de Fourier (esto es un cálculo fácil), tenemos, para $k\in\left\{ 1,\dots,N\right\} $ : $$ \widehat{M_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\varphi_{R}}=L_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\widehat{\varphi_{R}}. $$ Como la familia $\left(x_{k}\right)_{k}$ es $\frac{4\pi r}{R}$ -separado, obtenemos \begin{eqnarray*} {\rm supp}\left(\widehat{M_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\varphi_{R}}\right)\cap{\rm supp}\left(\widehat{M_{\frac{x_{n}}{2\pi}}\varphi_{R}}\right) & = & {\rm supp}\left(L_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\widehat{\varphi_{R}}\right)\cap{\rm supp}\left(L_{\frac{x_{n}}{2\pi}}\widehat{\varphi_{R}}\right)\\ & \subset & \left[B_{r/R}\left(0\right)+\frac{x_{k}}{2\pi}\right]\cap\left[B_{r/R}\left(0\right)+\frac{x_{n}}{2\pi}\right]\\ & = & \frac{1}{2\pi}\cdot\left(\left[B_{2\pi r/R}\left(0\right)+x_{k}\right]\cap\left[B_{2\pi r/R}\left(0\right)+x_{n}\right]\right)=\emptyset. \end{eqnarray*} Por último, para $f_{1},\dots,f_{n}\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ con soportes disjuntos, tenemos $$ \left\Vert \sum f_{j}\right\Vert _{2}^{2}=\int\left|\sum f_{j}\right|^{2}\, dx=\int\sum\left|f_{j}\right|^{2}\, dx=\sum\left\Vert f_{j}\right\Vert _{2}^{2}.\qquad\left(\dagger\right) $$

Ahora empleamos $\left(\dagger\right)$ el teorema de Plancherel, como así como $\left|\varphi_{R}\left(x\right)\right|\geq\left(\frac{r}{R}\right)^{d}$ en $B_{R}\left(0\right)$ , para derivar \begin{eqnarray*} \left\Vert \sum_{k}a_{k}e^{i\left\langle x_{k},\xi\right\rangle }\right\Vert _{L^{2}\left(B_{R}\left(0\right)\right)} & \leq & \left(\frac{R}{r}\right)^{d}\cdot\left\Vert \sum_{k}a_{k}e^{i\left\langle x_{k},\xi\right\rangle }\varphi_{R}\left(\xi\right)\right\Vert _{L^{2}}\\ & = & \left(\frac{R}{r}\right)^{d}\cdot\left\Vert \sum_{k}a_{k}\cdot M_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\varphi_{R}\right\Vert _{L^{2}}\\ & \overset{\text{Plancherel}}{=} & \left(\frac{R}{r}\right)^{d}\cdot\left\Vert \sum_{k}a_{k}\cdot\widehat{M_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\varphi_{R}}\right\Vert _{L^{2}}\\ & \overset{\left(\dagger\right)}{=} & \left(\frac{R}{r}\right)^{d}\cdot\sqrt{\sum_{k}\left\Vert a_{k}\cdot\widehat{M_{\frac{x_{k}}{2\pi}}\varphi_{R}}\right\Vert _{L^{2}}^{2}}\\ & \overset{\text{Plancherel}}{=} & \left(\frac{R}{r}\right)^{d}\cdot\sqrt{\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{2}\cdot\left\Vert \varphi_{R}\right\Vert _{2}^{2}}\\ & = & \left(\frac{R}{r}\right)^{d}\cdot\left(\frac{r}{R}\right)^{d/2}\cdot\left\Vert \varphi\right\Vert _{2}\cdot\sqrt{\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{2}}\\ & = & \frac{\left\Vert \varphi\right\Vert _{2}}{r^{d/2}}\cdot R^{d/2}\cdot\sqrt{\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{2}}. \end{eqnarray*} Esto demuestra la afirmación, siempre y cuando permitamos que la constante implícita dependa de la dimensión $d$ , como $\varphi,r$ se puede elegir una vez y para todos para cada dimensión $d\in\mathbb{N}$ . También hay que tener en cuenta que no no utilizamos la suposición $\left|x_{k}\right|=1$ para todos $k$ .