Variables estocásticas dominantes con la misma expectativa

Question

Consideremos las variables aleatorias $X, Y$ con distribuciones $F_X, F_Y$ que satisfacen $F_X(t) \leq F_Y(t), \; \forall t$ . Además, sabemos que $X, Y \geq 0$ . El objetivo es demostrar que $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(Y) \Rightarrow F_X(t) = F_Y(t), \forall t$ .

Mi intento : Desde $X, Y$ son positivos, podemos escribir $\mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}_+} \mathbb{P}(X \geq t) \text{d} t$ , igualmente para $Y$ por lo que obtenemos

$$ \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(Y) = \int_{\mathbb{R}_+} F_Y(t) - F_X(t) \text{d} t $$ Ahora, considero la siguiente partición de $\mathbb{R}_+$ , definiendo $D = \left\{ t : F_Y(t) > F_X(t) \right\}$ y tienen

$$ 0 = \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(Y) = \int_D F_Y(t) - F_X(t) \text{d}t + \int_{D^c} F_Y(t) - F_X(t) \text{d} t = \int_D \underbrace{F_Y(t) - F_X(t)}_{> 0} \text{d} t $$ Claramente, de lo anterior debemos tener $F_Y(t) > F_X(t)$ en un conjunto de medidas $0$ Si no es así $\int_D F_Y(t) - F_X(t) dt > 0$ . Sin embargo, el problema pide que se concluya que $F_X(t) = F_Y(t)$ en todas partes . ¿Cómo se pasa de casi todo a todo en esta situación?

Answer 1

$g(t)=F_Y(t)-F_X(t)$ es una función medible no negativa cuya integral sobre $\mathbb R^{+}$ es cero. Esto implica que $g(t)=0$ casi en todas partes. A su vez, esto implica que es cero en un subconjunto denso de $\mathbb R^{+}$ . Desde $g$ es correcta continua se deduce que $g(t)=0$ para todos $t$ . [Detalles: si $A$ tiene medida de Lebesgue 0 entonces $A^{c}$ es denso porque ningún intervalo abierto puede estar contenido en $ A$ . Dado cualquier $t$ podemos elegir una secuencia de este conjunto denso que disminuya a $t$ y se puede aplicar la continuidad de la derecha para completar la prueba].

Answer 2

Su argumento funciona para $X,Y \geq 0$ . También hay un argumento de acoplamiento, que funciona independientemente de si $X,Y \geq 0$ .

Dejemos que $G_X$ y $G_Y$ denotan los inversos generalizados de $F_X$ y $F_Y$ respectivamente. Así que, $G_X(z) = \inf\{ t \geq 0: F_X(t) \geq z\}$ , para $z \in [0,1]$ y de forma similar para $G_Y$ .

Puede comprobar que $G_X(z)\leq t$ si $ z \leq F_X(t)$ para $z \in [0,1]$ y $t \in \Bbb R$ . Por lo tanto, si $U$ se distribuye uniformemente en $[0,1]$ puis $X':=G_X(U)$ tiene la misma distribución que $X$ y $Y':=G_Y(U)$ tiene la misma distribución que $Y$ .

Desde $F_X \leq F_Y$ sabemos que $G_X \leq G_Y$ y por lo tanto $X' \leq Y'$ . Por lo tanto, $E[X'] \leq E[Y']$ es decir, $E[X] \leq E[Y]$ . Si la igualdad se mantiene, entonces $Y'-X'$ es una v.r. no negativa con expectativa $0$ Por lo tanto $Y'=X'$ a.s., por lo que $F_X(t) = P(X' \leq t) = P(Y' \leq t) = F_Y(t)$ .