¿Son conjuntos finitos no vacía una categoría de la prueba de Grothendieck?

Question

La prueba en la categoría" es un cierto tipo de categoría de pequeña $A$, que resulta que tiene la siguiente propiedad: la categoría de $\widehat{A}$ de presheaves de los conjuntos en $A$ admite un modelo de estructura de categorías, que se Quillen equivalente para el modelo habitual de la categoría de la estructura de los espacios.

La noción de categoría de prueba fue propuesta por Grothendieck, y el resultado fue demostrado por Cisinski (Les préfaisceaux comme des modèles tipos d'homotopie. Astérisque Nº 308 (2006)).
Ejemplos de pruebas de categorías incluyen la categoría de $\Delta$ de los no-vacío finito de conjuntos ordenados (es decir, la indexación de la categoría de simplicial conjuntos), y $\square$, la indexación de la categoría cúbico de conjuntos.

Para mí es difícil dar una definición precisa de la categoría de prueba aquí: implica el counit de la contigüidad $i_A: \widehat{A} \rightleftarrows \mathrm{Cat} :i_A^*$, donde la izquierda adjoint $i_A$ envía un presheaf $X$ a de la coma categoría $A/X$ (donde pensamos de $A\subset \widehat{A}$ por yoneda). Una línea de introducción a la prueba de las categorías, la cual incluye la definición completa y una cuenta de Cisinski resultados, se da en Jardine, "Categórica homotopy teoría".

Yo realmente no entiendo cómo uno debe tratar de probar que una determinada categoría es una categoría de prueba. El ejemplo que tengo en mente es $G$ el (esqueleto) de la categoría de no-vacío finito de conjuntos, y todos los mapas entre ellos. Creo que este debería de ser una prueba de la categoría; ¿es esto cierto?

Tenga en cuenta que hay un "olvidadizo functor" $\Delta\rightarrow G$, lo que induce a algunos de los pares de adjoint functors entre el$\widehat{\Delta}$$\widehat{G}$. Si $G$ es realmente una prueba de categoría, yo esperaría que uno de estos adjunto pares para ser un Quillen equivalencia.

Otra nota: $G$ es equivalente a la categoría de finito, contráctiles groupoids, que es como yo estoy pensando en ello.

Answer 1

El hecho de que G es una categoría de prueba cae en la gran clase de los ejemplos. Grothendieck demostrado que una pequeña categoría $A$ es un local de ensayo categoría si y sólo si existe una presheaf $I$ $A$ que es un intervalo (es decir, que tiene dos disjuntas global secciones) de forma tal que, para cualquier representable presheaf $a$, el producto cartesiano $a\times I$ es asféricas (un presheaf $X$ es asféricas si la clasificación de espacio de su categoría de elementos contráctiles; por ejemplo, cualquier representable presheaf es esférico, ya que cualquier categoría con un terminal de objeto es contráctiles). Una pequeña categoría $A$ es una prueba de categoría si y sólo si es un local de categoría de prueba con contráctiles la clasificación de espacio. Por ejemplo, cualquier categoría de pequeña con un terminal de un objeto, con finito de productos, y con un registro de intervalo es una prueba de la categoría. Este es el caso de la categoría de no-vacío finito de conjuntos; véase el Teorema 1.5.6 y Corolario 1.5.7 en Maltsiniotis libro.

Me gustaría señalar dos cosas agradables acerca de Reid última observación: la categoría de $1$-groupoids es canónicamente equivalente a la totalidad de la subcategoría de la categoría de presheaves en $G$ generado por los presheaves que satisfacer la (estricto) de Segal condición. Esto implica que el "modelo clásico de estructura" y la "Joya estructura del modelo de" coinciden en $\widehat{G}$, y definir la homotopy teoría de la $(\infty,0)$-categorías (aka $\infty$-groupoids). Si tenemos en cuenta el Joyal modelo de estructura en $\widehat{\Delta}$, el Quillen contigüidad con $\widehat{G}$, entonces realmente se extiende la contigüidad entre las categorías y groupoids.

No puedo resistir a afirmar que una imagen puede ser empujado más: podemos reemplazar $\Delta$ por Joyal categorías de $\Theta_n$ (o incluso por alguna categoría de operadores de $\Theta_A$, correspondiente a un contráctiles $n$-operad a la Batanin) y, a continuación, producir un análogo de la $G$ con respecto al $\Theta_n$, de tal manera que vamos a tener la misma imagen, pero relativo $(\infty,n)$-categorías a $(\infty,0)$-categorías. La construcción de este tipo de simetrización de la (weakenings) de Joyal las categorías y de las pruebas que conducen a la prueba de las categorías es el tema de la tesis doctoral (en preparación) de Dimitri Ara (París, 7). Tal symmetrizations han sido construidos explícitamente por Grothendieck en el principio de Perseguir las pilas, y conducir a una definición de la debilidad de la $\infty$-groupoids, muy cerca de Batanin la noción de la debilidad de las categorías superiores; ver a estos dos memorias (1 de 2) de Maltsiniotis (en francés). Grothendieck la conjetura de que la debilidad de la $\infty$-groupoids modelo homotopy tipos se dijo muy explícitamente el uso de esta definición misma de la mayor groupoids. Supongo que este es uno de los puntos de partida/motivaciones de su teoría de la prueba de categorías.

Answer 2

Que G es una prueba de la categoría que se indica en la última frase de 4.1.20 en el papel de Cisinski que usted menciona. Este caso también se trata en más detalle en la sección 8.3, donde se muestra que la izquierda Kan extensión o restricción a lo largo de ambos adjunctions inducida por su "olvidadizo functor" se Quillen de equivalencias (8.3.8).

(Por cierto, si recuerdo correctamente, es un corolario de que si le damos simplicial establece el Joyal modelo de la estructura en su lugar, a continuación, tanto adjunctions son todavía Quillen pares, y se dan cuenta de que los dos adjoints a la inclusión de (∞,0)-categorías en (∞,1)-categorías).