¿La convolución y la multiplicación satisfacen alguna identidad algebraica no trivial?

Question

Para funciones (adecuadas) de valor real o complejo $f$ y $g$ en un grupo abeliano (adecuado) $G$ tenemos dos operaciones bilineales: la multiplicación - $$(f\cdot g)(x) = f(x)g(x),$$

y la convolución - $$(f*g)(x) = \int_{y+z=x}f(y)g(z)$$

Ambas operaciones definen estructuras de anillos conmutativos (posiblemente sin identidad) con la suma habitual. (Para que esto tenga sentido, tenemos que encontrar un subconjunto de funciones que sea cerrado bajo la suma, la multiplicación y la convolución. Si $G$ es finito, esto no es un problema, y si G es compacto, podemos considerar funciones infinitamente diferenciables, y si $G$ es $\mathbb R^d$ podemos considerar la clase Schwarz de funciones infinitamente diferenciables que decaen en el infinito más rápido que todos los polinomios, etc. Mientras nuestra clase de funciones no satisfaga ninguna identidad algebraica adicional no trivial, no importa cuál sea precisamente).

Mi pregunta es simplemente: ¿satisfacen estas dos estructuras de anillos conmutativos alguna identidad adicional no trivial?

Una identidad "trivial" es simplemente una consecuencia de las propiedades mencionadas anteriormente: por ejemplo, tenemos la identidad $$f*(g\cdot h) = (h\cdot g)*f,$$

pero eso se deduce del hecho de que la multiplicación y la convolución son operaciones semigrupales conmutativas por separado.

Editar: Para aclarar, una "identidad algebraica" aquí debe ser de la forma $A(f_1, ..., f_n) = B(f_1, ..., f_n)$ ," donde $A$ y $B$ se componen de las siguientes operaciones:

• adición
• negación
• identidad aditiva (0)
• multiplicación
• convolución

(Técnicamente, una frase más correcta sería "para todos los $f_1, ..., f_n$ : $A(f_1, ..., f_n) = B(f_1, ..., f_n)$ pero el cuantificador universal siempre está implícito). Si bien es cierto que la transformada de Fourier intercambia la convolución y la multiplicación, eso no da identidades válidas a menos que puedas escribir de alguna manera la transformada de Fourier como una composición de las operaciones anteriores, ya que no te estoy dando la transformada de Fourier como una operación primitiva.

Edición 2 : Parece que lo anterior sigue siendo bastante confuso. Esta pregunta se refiere a las identidades en el sentido del álgebra universal. I piense en lo que realmente pido es la variedad generada por el conjunto de grupos abelianos dotados de las cinco operaciones anteriores. ¿Es diferente de la variedad de álgebras con 5 operaciones (operaciones binarias +, *, .; operación unaria -; operación nula 0) determinada por identidades diciendo que $(+, -, 0, *)$ y $(+, -, 0, \cdot)$ son estructuras de anillos conmutativos?

Answer 1

En un grupo abeliano finito, creo que tenemos la relación

f*g = suma sobre los pares (x,y) en el grupo de ([y]*([x].f)).([x]*g)

Aquí [x] denota la función indicadora que toma el valor 1 en x y cero en el resto. En el grupo trivial esto dice f*g = f.g, así que no creo que se reduzca a 0 = 0. La relación se puede deducir del hecho de que ([u]*h)(v) = h(v-u) para todo h, u y v, y que sumando los términos sólo sobre y da f(x).([x]*g) = f(x).g(blanco - x), y la definición de convolución.