Una notación particular sobre los fermiones

Question

No estoy seguro de que esta notación sea específica de las teorías de supersimetría, pero me encontré con esto mientras estudiaba eso.

Veo que la gente habla de los campos componentes de un supercampo quiral como $\phi$ y $\bar{\psi}$ en la representación adjunta de algún grupo gauge. (A veces parece que también se utiliza la notación de $\bar{\psi}_+$ para denotar qué componente del espinor se está recogiendo) También se denota el operador de la derivada covariante como $D$ (que a veces se escribe como $D_{++}$ para indicar qué componente se elige pero no entiendo esta notación)

Ahora se habla de "operadores de traza única" del tipo $Tr[\phi \bar{\psi}]$ , $Tr[\phi \bar{\psi}^2]$ , $Tr[\phi^3D \bar{\psi}^4]$ y cosas así básicamente tomando combinaciones arbitrarias de potencias del escalar y del fermión y luego tomando una "traza gauge".

Hay muchas cosas que no entiendo.

• Me desconcierta la notación de tomar potencias de un campo fermiónico. ¿Cómo se definen las potencias de un espinor? (¿Qué es el cuadrado de un fermión?) También aquí en componentes $\psi$ tendría una descomposición como $\psi = \psi_A t_A$ donde $\psi_A$ son fermiones y $t_A$ corre sobre los generadores del álgebra de Lie de un grupo gauge en la representación adjunta. Supongo que se está tomando un producto tensorial entre el espinor $\psi_A$ y la matriz $t_A$ . Pero entonces no entiendo qué es un cuadrado o cualquier otra potencia de ese tensor?

• Me han dicho que $\bar{\psi}^2 \neq 0$ pero $Tr[\bar{\psi}^2] = 0$ No entiendo qué se supone que significa esto.

• Una forma que se me ocurre de los poderes podría ser que $\bar{\psi}$ son después de los operadores de cuantización en el espacio de Hilbert de la teoría y estos son potencias de ese operador del espacio de Hilbert. Pero en esta forma de pensar me confunde cómo intpretar la traza sobre los índices gauge.

• En este lenguaje se quiere pensar en los operadores de supersimetría $Q$ para actuar en los campos de la siguiente manera,

$Q\phi=0$

$Q\bar{\psi} = 0$

$Q(DO) = [[\phi,\bar{\psi}],O\} + D(QO)$

donde $O$ es algún operador y en el primer término del lado derecho de la última de las ecuaciones anteriores el símbolo $[,\}$ significa que se tomará el conmutador o el anticomutador dependiendo de si $O$ es bosónico o fermiónico.

Lo anterior parece una forma muy diferente de pensar en las transformaciones de supersimetría que el lenguaje con el que estoy familiarizado de los libros como el de Weinberg donde la acción de $Q$ en $\phi$ y $\psi$ es a través del conmutador y anticomutador respectivamente o se piensa en transformaciones de supersimetría infinitesimales como $\delta \phi$ etc.

• Definitivamente, el último de la lista anterior de conmutadores es totalmente desconocido para mí.

• Lo que la noción anterior confunde es cómo se supone que debo pensar en la acción de $Q$ en operadores compuestos como, por ejemplo $Tr[\phi\bar{\psi}^3]$ . Aparentemente se supone que uno debe pensar en esto como un operador fermiónico ya que el fermión está siendo elevado a una potencia impar. (¡No puedo ver el argumento completo aquí!)

Entonces la acción de $Q$ se supone que es (dejando caer el rastro general),

$Q(\phi \bar{\psi}^3) = (Q\phi)\bar{\psi}^3 + \phi (Q \bar{\psi})\bar{\psi}^2 - \phi \bar{\psi}(Q \bar{\psi})\bar{\psi} + \phi \bar{\psi}^2(Q \bar{\psi})$

Los carteles se alternan en función del número de $\bar{\psi}$ s tiene la $Q$ se ha saltado.

• Me gustaría conocer explicaciones sobre la forma anterior de escribir potencias de campos fermiónicos y hacer transformaciones de supersimetría sobre ellos. Me gustaría que me indicaran alguna referencia que explique la forma de pensar anterior que no he encontrado en ningún otro libro.

• {Está interesado en calcular la "cohomología de $Q$ "en el espacio de todos los operadores de trazo único. (por alguna razón que no me queda clara la gente quiere dejar fuera de esta lista a los operadores que son derivados covariantes totales) Esto depende de la teoría que uno está buscando por lo que el campo auxiliar se integra y que aparece en el RHS. Me gustaría saber referencias a lo largo de eso también y por qué esto es "cohomología" y por qué se calcula esto.}

Answer 1

Aquí está mi intento de responder a algunos de sus múltiples puntos...

• Sé que a menudo se mira $N=2$ susy. $D_{++}$ Las derivadas covariantes del tipo superespacio armónico donde el ++ indica la carga armónica.

• Los componentes del espinor de su campo gauge son campos fermiónicos de espín 1/2 valorados en el álgebra de Lie. Eso significa que toman un punto del espaciotiempo y devuelven un elemento que está en la envoltura de Grassmann del producto directo del módulo de espín-1/2 y el álgebra de Lie. Como es fermiónico, debe ser un elemento impar.

• Si el producto es un término de la lagrangiana, entonces todo debe contraerse/trazarse para obtener un objeto invariante. Si el producto no está en la lagrangiana, entonces depende del contexto.

• Los productos de los elementos del álgebra de Lie deben ser conmutadores o trazas de términos cuadráticos. En tu caso, estás en el rep adjunto, así que los productos son secretamente conmutadores. Los cúbicos, etc., son combinaciones de lo anterior. $tr(ABC):=tr(A[B,C])=tr([A,B]C)$ etc...

• En cuanto a " $\bar{\psi}^2 \neq 0$ pero $Tr[\bar{\psi}^2] = 0$ "... No estoy seguro de lo que quieres decir exactamente. Tal vez dejar que $\lambda = \lambda^A T_A$ sea un elemento anticonmutador del álgebra de Lie. Entonces el conmutador del álgebra de Lie es $[\lambda, \lambda] = \lambda^A \lambda^B [T_A, T_B] \neq 0$ pero debe tener un rastro de desaparición. O el producto directo es $\lambda \lambda = \lambda^A \lambda^B T_AT_B$ que tiene (suponiendo una base ortogonal) la traza ${\rm tr} (\lambda \lambda) = \lambda^A \lambda^B {\rm tr}(T_AT_B) = \lambda^A\lambda^B \delta_{AB}$ desaparece porque cada componente es sólo un elemento de impar Grassmann y, por tanto, es cuadrado a cero.

  • Después de eso, creo que se sale del ámbito de la QFT estándar. Parece que quieres hacer que el campo se convierta en un estado físico que es un vacío y por lo tanto se desvanece bajo la supersimetría?

Tal vez deberías echar un vistazo rápido al primer capítulo de Ideas y métodos de supersimetría y supergravedad que se llama (y tiene mucho) "fondo matemático". Ofrece una buena descripción de las álgebras de Grassmann que a menudo se omite en otros textos.