No estoy seguro de que esta notación sea específica de las teorías de supersimetría, pero me encontré con esto mientras estudiaba eso.
Veo que la gente habla de los campos componentes de un supercampo quiral como $\phi$ y $\bar{\psi}$ en la representación adjunta de algún grupo gauge. (A veces parece que también se utiliza la notación de $\bar{\psi}_+$ para denotar qué componente del espinor se está recogiendo) También se denota el operador de la derivada covariante como $D$ (que a veces se escribe como $D_{++}$ para indicar qué componente se elige pero no entiendo esta notación)
Ahora se habla de "operadores de traza única" del tipo $Tr[\phi \bar{\psi}]$ , $Tr[\phi \bar{\psi}^2]$ , $Tr[\phi^3D \bar{\psi}^4]$ y cosas así básicamente tomando combinaciones arbitrarias de potencias del escalar y del fermión y luego tomando una "traza gauge".
Hay muchas cosas que no entiendo.
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Me desconcierta la notación de tomar potencias de un campo fermiónico. ¿Cómo se definen las potencias de un espinor? (¿Qué es el cuadrado de un fermión?) También aquí en componentes $\psi$ tendría una descomposición como $\psi = \psi_A t_A$ donde $\psi_A$ son fermiones y $t_A$ corre sobre los generadores del álgebra de Lie de un grupo gauge en la representación adjunta. Supongo que se está tomando un producto tensorial entre el espinor $\psi_A$ y la matriz $t_A$ . Pero entonces no entiendo qué es un cuadrado o cualquier otra potencia de ese tensor?
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Me han dicho que $\bar{\psi}^2 \neq 0$ pero $Tr[\bar{\psi}^2] = 0$ No entiendo qué se supone que significa esto.
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Una forma que se me ocurre de los poderes podría ser que $\bar{\psi}$ son después de los operadores de cuantización en el espacio de Hilbert de la teoría y estos son potencias de ese operador del espacio de Hilbert. Pero en esta forma de pensar me confunde cómo intpretar la traza sobre los índices gauge.
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En este lenguaje se quiere pensar en los operadores de supersimetría $Q$ para actuar en los campos de la siguiente manera,
$Q\phi=0$
$Q\bar{\psi} = 0$
$Q(DO) = [[\phi,\bar{\psi}],O\} + D(QO)$
donde $O$ es algún operador y en el primer término del lado derecho de la última de las ecuaciones anteriores el símbolo $[,\}$ significa que se tomará el conmutador o el anticomutador dependiendo de si $O$ es bosónico o fermiónico.
Lo anterior parece una forma muy diferente de pensar en las transformaciones de supersimetría que el lenguaje con el que estoy familiarizado de los libros como el de Weinberg donde la acción de $Q$ en $\phi$ y $\psi$ es a través del conmutador y anticomutador respectivamente o se piensa en transformaciones de supersimetría infinitesimales como $\delta \phi$ etc.
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Definitivamente, el último de la lista anterior de conmutadores es totalmente desconocido para mí.
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Lo que la noción anterior confunde es cómo se supone que debo pensar en la acción de $Q$ en operadores compuestos como, por ejemplo $Tr[\phi\bar{\psi}^3]$ . Aparentemente se supone que uno debe pensar en esto como un operador fermiónico ya que el fermión está siendo elevado a una potencia impar. (¡No puedo ver el argumento completo aquí!)
Entonces la acción de $Q$ se supone que es (dejando caer el rastro general),
$Q(\phi \bar{\psi}^3) = (Q\phi)\bar{\psi}^3 + \phi (Q \bar{\psi})\bar{\psi}^2 - \phi \bar{\psi}(Q \bar{\psi})\bar{\psi} + \phi \bar{\psi}^2(Q \bar{\psi})$
Los carteles se alternan en función del número de $\bar{\psi}$ s tiene la $Q$ se ha saltado.
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Me gustaría conocer explicaciones sobre la forma anterior de escribir potencias de campos fermiónicos y hacer transformaciones de supersimetría sobre ellos. Me gustaría que me indicaran alguna referencia que explique la forma de pensar anterior que no he encontrado en ningún otro libro.
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{Está interesado en calcular la "cohomología de $Q$ "en el espacio de todos los operadores de trazo único. (por alguna razón que no me queda clara la gente quiere dejar fuera de esta lista a los operadores que son derivados covariantes totales) Esto depende de la teoría que uno está buscando por lo que el campo auxiliar se integra y que aparece en el RHS. Me gustaría saber referencias a lo largo de eso también y por qué esto es "cohomología" y por qué se calcula esto.}
