Órdenes lineales universales sin $\omega_1$ o $\omega_1^*$ subconjuntos.

Question

Digamos que un orden lineal es $\omega_1$ -corta si no tiene un subconjunto incontable bien ordenado o inversamente bien ordenado. Por ejemplo, los órdenes lineales que satisfacen la condición de Suslin en su hipótesis son $\omega_1$ -corta. Hay $\omega_1$ -Ordenes lineales cortas que no satisfacen la condición de cadena contable.

¿Existe una $\omega_1$ -corto orden lineal en el que cada $\omega_1$ -¿Incorporaciones de orden lineal cortas?

Cualquier $\omega_1$ -corto orden lineal encaja en el árbol binario completo ordenado lexicográficamente $2^{<\omega_1}$ (que puede ser ssenado como un subcampo del Campo ordenado de los surreales), pero $2^{<\omega_1}$ no es $\omega_1$ -Cortocircuito. No creo que ninguno de los $2^{<\alpha},\alpha < \omega_1$ calificar, aunque sean $\omega_1$ -Corto, pero no tengo una prueba. De hecho, todavía no sé si $2^{<\alpha+1}$ puede incrustar en $2^{< \alpha}$ para algunos valores de $\alpha < \omega_1$ .

Answer 1

La respuesta es no. Véase el Corolario 5 en

• Stevo Todorčević y Jouko Väänänen , MR 1712000 Árboles y juegos Ehrenfeucht-Fraïssé , Ann. Pure Appl. Logic 100 (1999), nº 1-3, 69--97.

Su argumento es el siguiente: dado un orden lineal arbitrario $L$ se puede considerar el conjunto $\sigma L$ de todos los subconjuntos bien ordenados de $L$ con extensión final como orden parcial. Este orden parcial se extiende a un orden lineal mediante la ordenación lexicográfica. Es fácil ver que si $L$ es $\omega_1$ -corta entonces $\sigma L$ debe ser $\omega_1$ -Corta también.

Sin embargo, $\sigma L$ nunca se incrusta en $L$ (así $L$ no es universal). En efecto, si $f:\sigma L\to L$ es una incrustación que preserva el orden, entonces defina $s(\alpha)=f(s|\alpha)$ por inducción en $\alpha \in ORD$ (tomando los sindicatos en pasos límite). Si $\alpha<\beta$ entonces $s|\beta$ es una extensión final de $s|\alpha$ así que $s(\alpha)=f(s|\alpha)<f(s|\beta)=s(\beta)$ . Es decir $s:\mathrm{ORD}\to L$ es inyectiva, lo cual es claramente imposible.