Ejemplo de una métrica sobre $\mathbb{R}^2$ que no es inducido por ninguna norma.

Question

Al observar las propiedades de lo que hace que una función sea una métrica y una función sea una norma, deduzco que tendría que crear una métrica que no satisfaga la propiedad de multiplicación escalar de una norma (es decir $||ax|| \ne |a|||x||$ ). Así que me decanté por $d(x,y) = \sqrt{|x-y|}$ desde entonces $\sqrt{|a||x-y|} \ne |a|\sqrt{|x-y|}$ . ¿Estoy en lo cierto al hacer esto? Si no es así, preferiría que me dieran una pista sobre cómo debería crear esa métrica.

Answer 1

Sí, esto es correcto. Todas las métricas inducidas por una norma tienen que ser homogéneas (propiedad escalar) y, por tanto, los contraejemplos sólo funcionan si ellas mismas no son homogéneas. Tu ejemplo funciona bien, sólo tienes que verificar la desigualdad del triángulo que funciona bien.

Además, el métrica discreta es un ejemplo estándar para una métrica que no está inducida por una norma. Recomiendo también las respuestas a este pregunta: No toda métrica se induce a partir de una norma