Encontrar la dimensión del subespacio span(S)

Question

El problema:

Consideremos el conjunto de vectores $S= \{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ donde $a_1= (6,4,1,-1,2)$ $a_2 = (1,0,2,3,-4)$ $a_3= (1,4,-9,-16,22)$ $a_4= (7,1,0,-1,3)$

Hallar la dimensión del subespacio $span(S)$ ?

• Sé que la dimensión es el número máximo de vectores linealmente independientes en un subespacio.

• Entonces, ¿la dimensión en este caso es 4? ¿Ya que hay 4 vectores?

Encontrar un conjunto de vectores en $S$ que forma la base de $span(S)$ ?

• ¿Cómo lo resuelvo?

Answer 1

Escribe tus cuatro vectores como vectores columna de un $ \ 5 \times 4 \ $ matriz y reducirla en filas:

$$ \left( \begin{array}{cc} 6 & 1 & 1 &7 \\4&0&4&1\\1&2&-9&0\\-1&3&-16&-1\\2&-4&22&3 \end{array} \right) \ \ \rightarrow \ \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 &0 \\0&0&0&0\\0&0&0&1\\1&-3&16&1\\0&1&-5&\frac{1}{2} \end{array} \right) $$

[Utilicé la cuarta fila aquí para trabajar contra las otras filas; eso no importa particularmente].

¿Qué nos dice la "reducción a cero" de dos filas? ¿Cómo podemos utilizar las filas no nulas que quedan para construir una base para span(S)? (Obsérvese que se trata de cinco -vectores dimensionales, por lo que ya partimos de "una variable de coordenadas corta", haciéndola "libre").

EDITAR -- Ya que la discusión ha avanzado, podemos decir algo sobre la base de span(S). Tomando la pista de Omnomnomnom o lo anterior, el subespacio abarcado por su conjunto de cuatro vectores sólo tiene dimensión 3. Así que tenemos que establecer tres vectores linealmente independientes, utilizando las columnas de la matriz reducida por filas.

Podríamos "reducir" un poco más esas dos últimas filas para obtener

$$ \rightarrow \ \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 &0 \\0&0&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\\0&1&-5&0 \end{array} \right) \ \ . $$

Con la matriz totalmente "reducida", tenemos que elegir tres vectores columna (de cinco dimensiones) que sean linealmente independientes. La tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras, así que podemos descartarla. Una base adecuada para span(S) es entonces

$$ \left( \begin{array}{cc} 0 \\0\\1\\0\\0 \end{array} \right) \ \ , \ \ \left( \begin{array}{cc} 0 \\0\\0\\1\\0 \end{array} \right) \ \ , \ \ \left( \begin{array}{cc} 0 \\0\\0\\0\\1 \end{array} \right) \ \ . $$

Answer 2

Creo que el procedimiento de colormegone para encontrar la base es correcto en cuanto a la reducción de filas de la matriz. Sin embargo no creo que su afirmación de que el conjunto de $$\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ es una base es verdadera. Porque una base debería ser capaz de representar cualquier vector en el espacio vectorial con combinación lineal, pero si tomamos $a1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \\ −1 \\2 \end{pmatrix}$ no hay manera de utilizar la combinación lineal de vectores en el conjunto anterior para representarlo.

Estos 3 vectores corresponden a la primera, segunda y cuarta columna de la matriz original, por lo que una base (o un posible conjunto de bases) debería ser el conjunto de vectores columna correspondientes en la matriz original, es decir $$\left\{\begin{pmatrix}6 \\ 4 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}\right\}$$