límite de una función trigonométrica $ \lim\limits_{x\to\pi/3} \frac{1 - 2\cos (x)}{\sin (3x)} $

Question

Calcular el límite de

$$ \lim_{x\to \frac{\pi }{3} } \frac{1 - 2 \cos (x)}{\sin (3x)} $$

Me gustaría no hacer una traducción con el cambio de variable $ t = x - \frac{\pi }{3} $

Answer 1

Método $\#1:$

Expresar como $$F=2\lim_{x\to\frac\pi3}\dfrac{\cos\dfrac\pi3-\cos x}{\sin3x}$$

Set $\frac\pi3-x=y$ para encontrar $$F=\lim_{y\to0}\dfrac{\cos\dfrac\pi3-\cos\left(\dfrac\pi3-y\right)}{\sin3y}$$

Aplicar ahora $\cos C-\cos D$ en el numerador

para el denominador, utilice $\sin3A=\sin A(3-4\sin^2A)$

Método $\#2:$

Expresar como $$F=\sec A\cdot\lim_{x\to A}\dfrac{\cos A-\cos x}{\sin3x-\sin3A}$$

Método $\#2A:$ $$F=-\sec A\cdot\dfrac{\lim_{x\to A}\dfrac{\cos x-\cos A}{x-A}}{\lim_{x\to A}\dfrac{\sin3x-\sin3A}{x-A}}=-\sec A\cdot\dfrac{\dfrac{d(\cos x)}{dx}_{(\text{ at }x=A)}}{\dfrac{d(\sin3x)}{dx}_{(\text{ at }x=A)}}$$

Método $\#2B:$ Utilizando Prostaféresis Fórmulas $$F=\sec A\cdot\lim_{x\to A}\dfrac{2\sin\dfrac{x-A}2\sin\dfrac{x+A}2}{2\sin\dfrac{3(x-a)}2\cos\dfrac{3(x+A)}2}$$

Ahora usa $\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}u=1$

Answer 2

$$\frac{1 - 2 \cos x}{\sin (3x)}=\frac{1- 2 \cos (x)}{-4\sin^3 x+3\sin x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1- 2 \cos (x)}{3-4\sin^2 x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1- 2 \cos (x)}{3-4+4\cos^2 x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1- 2 \cos (x)}{4\cos^2 x-1}=\frac{1}{\sin x}\frac{1- 2 \cos (x)}{(2\cos x-1)(2\cos x+1)}=\frac{1}{\sin x}\frac{-1}{(2\cos x+1)}\to\frac{2}{\sqrt3}\frac{-1}{2}=\frac{-1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}$$

Answer 3

Teniendo en cuenta "Me gustaría no hacer una traducción con el cambio de variable ..." Utilicemos la serie de Taylor en torno a $x=a$ . $$\cos(x)=\cos (a)-(x-a) \sin (a)-\frac{1}{2} (x-a)^2 \cos (a)+O\left((x-a)^3\right)$$ $$\sin(x)=sin (a)+(x-a) \cos (a)-\frac{1}{2} (x-a)^2 \sin (a)+O\left((x-a)^3\right)$$ Por lo tanto, utilizando $a=\frac \pi 3$ $$\cos(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{4} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^3\right)$$ $$1-2\cos(x)=\sqrt{3} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^3\right)$$ $$\sin(3x)=-3 \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^3\right)$$ $$\dfrac{1 - 2\cos (x)}{\sin (3x)}=\frac{\sqrt{3} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^3\right) } {-3 \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^3\right) }$$ $$\dfrac{1 - 2\cos (x)}{\sin (3x)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{6} \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+O\left(\left(x-\frac{\pi }{3}\right)^2\right)$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él.

Answer 4

Si utilizamos la traducción como se sugiere en el OP, entonces empezamos por dejar que $x=t+\pi/3$ . Procediendo, encontramos

$$1-2\cos(x)=1-\cos(t)+\sqrt3 \sin(t)$$

y

$$\sin(3x)=\sin(3t+\pi)=-\sin(3t)$$

Por lo tanto, podemos escribir $\frac{1-2\cos(x)}{\sin(3x)}$ en términos de $t$ como

$$\begin{align} \frac{1-2\cos(x)}{\sin(3x)}&=-\frac{1-\cos(t)+\sqrt3 \sin(t)}{\sin(3t)}\\\\ &=-\frac13 \left(\frac{1-\cos(t)}{t}+\sqrt3 \frac{\sin(t)}{t}\right)\,\left(\frac{3t}{\sin(3t)}\right) \end{align}$$

Por último, aplicar los límites "conocidos", $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1$ y $\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{t}=0$ produce el codiciado límite

$$\begin{align} \lim_{x\to \pi/3}\frac{1-2\cos(x)}{\sin(3x)}&=\lim_{t\to 0}\left(-\frac13 \left(\underbrace{\frac{1-\cos(t)}{t}}_{\to 0}+\sqrt3 \underbrace{\frac{\sin(t)}{t}}_{\to 1}\right)\,\underbrace{\left(\frac{3t}{\sin(3t)}\right)}_{\to 1}\right)\\\\ &=-\frac{\sqrt 3}3 \end{align}$$

Answer 5

Dado que tenemos un caso de $$0/0$$ utilizamos la regla de L'Hospital. $$\lim_{x\to \frac{\pi }{3} } \frac{1 - 2 \cos (x)}{\sin (3x)}=\lim_{x\to \pi/3}\frac{2\sin(x)}{3\cos(3x)}=-\frac{\sqrt 3}3$$