Atascado en el paso inductivo con esta prueba.
Dadas las cuatro subfunciones $P_1,P_2,N_1$ et $N_2$ cada uno con subdominio y subrango como se muestra arriba, que juntos forman una función iterativa a trozos que llamaremos $f(x)$ . Tenga en cuenta que todos los valores en el rango de $f$ también aparecen en el dominio de $f$ y viceversa, esto garantiza iteraciones continuas bajo $f$ .
Quiero demostrar que la trayectoria de todos los valores en el dominio de $f(x)$ convergerá a un único valor, $1$ . A continuación se muestra parte del árbol.
Paso básico: Demostrar que el término inicial de cada subfunción sí converge a 1.
El plazo inicial de $P_1$ es 2, que tiene una trayectoria $23-4-2-11$ . Esta composición es $N_1 N_2N_2 P_2P_1 (x)=\frac{9}{32}x+\frac{14}{32}$ . El plazo inicial de $P_1$ sí converge a $1$ , por lo que este paso parcial de la base es verdadero.
El plazo inicial de $P_2$ es $1$ que tiene una trayectoria $1-11$ . Esta composición es $N_1P_2 (x)=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$ . El plazo inicial de $P_2$ sí converge a $1$ , por lo que este paso parcial de la base también es cierto.
El plazo inicial de $N_1$ es $-1$ que tiene una trayectoria $-11$ . Esta composición es $N_1 (x)=\frac{-1}{2} x+\frac{1}{2}$ . El plazo inicial de $N_1$ sí converge a $1$ , por lo que este paso parcial de la base también es cierto.
El plazo inicial de $N_2$ es $-2$ que tiene una trayectoria $-2-11$ . Esta composición es $N_1N_2 (x)=\frac{-1}{4} x+\frac{1}{2}$ . El plazo inicial de $N_2$ sí converge a $1$ , por lo que este paso parcial de la base también es cierto.
Como todos los pasos parciales de la base son verdaderos, el paso de la base es verdadero.
El paso inductivo (actualizado)
Supongamos que un número entero positivo arbitrario $x_i$ convergerá a $1$ en $f(x)$ después de $k$ iteraciones, es decir, existe una composición $C(x_i)=\frac{3^m}{2^n}x_i+\frac{c}{2^n} =1$ . (Este argumento también es válido para un número entero negativo). Tenemos que demostrar que $x_i + 2$ también convergerá.
Esto es lo más lejos que puedo llegar.
Sin embargo, observando el dígrafo, reconozco que todas las trayectorias fluyen en una dirección. Esto me llevó a preguntarme si una vez que los términos iniciales convergen, no convergerían todos los términos posteriores, ya que la iteración de $f$ sobre cualquier término posterior es una iteración sobre el término inicial más algún número entero. En otras palabras, ningún número puede fluir en la otra dirección para divergir.
Se agradece cualquier ayuda. También se agradecerá cualquier recurso relacionado.
