¿Cómo convierto esta integral en una suma?

Question

$$\int_{0}^\infty \frac{t^{x-1}}{e^t-1}dx = \sum_{t=1}^\infty f(t,x)$$

Según la definición de las sumas de reimann, $$f(t,x) = \frac{t^{x-1}}{e^t-1}$$ Pero si pruebo esto, los valores que salen de la suma son completamente diferentes a los que deberían ser. ¿Cómo puedo convertir la integral en una suma? Funciona para la función gamma, por lo tanto

$$\int_{0}^\infty e^{-t}*t^{x-1}dt = \sum_{t=1}^\infty e^{-t}*t^{x-1}$$

Pero si funciona para la función gamma, debería funcionar también para mi integral. ¿Cómo se encuentra la $f(t,x)$ que satisfaga mi primera ecuación?

Answer 1

Podrías observar eso:

$$\frac1{e^t - 1} = e^{-t} \frac1{1 - e^{-t}} = e^{-t} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nt}$$

y la introducimos. Como el integrando es $\ge 0$ podemos utilizar el teorema de convergencia monótona de Lebesgue para intercambiar la integral y la suma. Ahora haz un cambio de variables y te quedas con la ecuación que mencionaste al final.