¿Cuál es el ángulo óptimo de proyección cuando se lanza una piedra desde un acantilado?

Question

Usted está de pie en un acantilado a una altura $h$ sobre el mar. Usted es capaz de lanzar una piedra con una velocidad de $v$ en cualquier ángulo de $a$ entre horizontal y vertical. ¿Cuál es el valor de $a$ cuando la distancia horizontal recorrida $d$ es máxima?

En el nivel del suelo, al $h$ es cero, es fácil mostrar que $a$ necesidades a medio camino entre horizontal y vertical, y por lo tanto $\large\frac{\pi}{4}$ o $45°$. Como $h$ aumenta, sin embargo, podemos ver por la heurística de razonamiento que $a$ disminuye a cero, porque se puede poner más de la velocidad en la componente horizontal como la altura del acantilado comienza a compensar la pérdida en la componente vertical. Para pequeños valores negativos de $h$ (tirando para arriba sobre una plataforma), $a$ va a ser en realidad mayor que $45°$.

Hay una totalmente resuelto, de forma cerrada, la expresión para el valor de $a$ al $h$ no es cero?

Answer 1

Suponga que no hay fricción y uniforme de la gravedad g.

Si usted lanza una piedra en el punto (0, h), con una velocidad (v cos θ, v pecado θ), entonces obtenemos

$$\begin{align} d &= vt\cos\theta && (1) \\ 0 &= h + vt\sin\theta - \frac12 gt^2 && (2) \end{align}$$

La única incógnita a resolver es t (tiempo total de viaje). Podríamos eliminarlo mediante el uso de $t = \frac d{v\cos\theta}$ para obtener

$$0 = h + d\tan\theta - \frac{gd^2\sec^2\theta}{2v^2}\qquad(3)$$

A continuación, calculamos el total de la derivada respecto a θ:

$$\begin{align} 0 &= \frac d{d\theta}\left(d\tan\theta\right) - \frac g{2v^2}\frac d{d\theta}\left(d^2\sec^2\theta\right) \\ &= \ldots \end{align}$$

y, a continuación, establezca $\frac{dd}{d\theta}=0$ (debido a que es el máximo) para resolver d:

$$d = \frac{v^2}{g\tan\theta}$$

Sustituir este regreso a la (3) se obtiene:

$$\begin{align} h &= \frac{v^2}g \left( \frac1{2\sin^2\theta} - 1\right) \\ \Rightarrow \sin\theta &= \left( 2 \left(\frac{gh}{v^2} + 1\right) \right)^{-1/2} \end{align}$$

Esta es la forma cerrada de θ en términos de h.

Answer 2

No tengo una solución completa, pero he tratado de resolver este problema utilizando el cálculo.

$x'=v \cos a$
$y''= -g$ e (a $t=0) \quad y'= v \sin a$
Por eso, $y'= v \sin a -gt$
$x_0=0$, lo $x=vt \cos a$
$y_0=h$, lo $y=vt \sin a - \frac12 gt^2+c$ (integrando con respecto a $t$)
Subbing en $h, y=vt \sin a - \frac12 gt^2+h$

El balón le golpeó en el suelo al $y=0$.

Esto es lo más lejos que yo tengo, pero parece que se puede encontrar una solución cerrada , después de todo. Originalmente se trató de resolver la ecuación cuadrática para $t$ y subbing que en $x$, pero parece que funciona mucho mejor para hacer la sustitución de otra forma. Voy a dejar esta solución aquí por si alguien quiere ver cómo derivar las ecuaciones básicas para$x$$y$.