Distribución normal Prueba

Question

Sea la variable aleatoria X1, con varianza uno, que tiene la siguiente propiedad: $\frac {X1+X2} {\sqrt2}$ tiene la misma distribución que X1, donde X2 es una copia independiente de X1. Demuestre que X1 es N(0, 1).

Así que tengo que demostrar que x1 es una distribución normal; es muy fácil demostrar lo contrario, por supuesto, cuando x1 es una distribución normal, entonces obviamente $\frac {X1+X2} {\sqrt2}$ ~ X1. Pero la otra forma es mucho más difícil

¿Tiene esto que ver con la función característica? ya que $\phi_{x1+x2}=\phi_x\phi_ {x2}$ He escrito esta expresión, pero ¿cómo puedo transformarla en una distribución normal? En parte, ¿cómo puedo obtener el valor eficaz de la distribución normal a partir de la igualdad? $\phi_{x1}=\phi_{x1/\sqrt(2)}\phi_ {x2\sqrt(2)}$ Gracias por adelantado.

Answer 1

Para demostrar que $X_1$ tiene la misma función característica que una variable normal estándar, $Z$ basta con demostrar que $EX_1^n=EZ^n$ para todos $n\ge 1$ . Esto se debe a la expansión $\phi_{X_1}(t)=\sum_{n\ge0} EX_1^n (it)^n/n!$ y el hecho de que $\phi_Z$ es un complejo analítico.

Puede probar $EX_1=0$ y se dan Var $X_1=1$ , lo que implica $EX_1^2=1$ . Esto también es cierto para los momentos de una variable normal estándar, $Z$ Hasta aquí, todo bien. Ahora, para cualquier $n\ge 3$ , tenga en cuenta que $$ \begin{align} EX_1^n=E((X_1+X_2)/\sqrt{2})^n&=2^{-n/2}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}EX_1^k EX_2^{n-k} \\&=2^{-n/2}\cdot 2EX^n+\sum_{k=1}^{n-1}EX_1^k \cdot EX_1^{n-k} \end{align} $$ Por lo tanto, dejar que $\mu_n=EX_1^n$ obtenemos una recurrencia $$ \mu_n=(1-2^{n/2})^{-1}\sum_{k=1}^{n-1}\mu_k\mu_{n-k}\tag{$ * $} $$ La cuestión es que se puede utilizar la misma relación $Z_1\equiv (Z_1+Z_2)/\sqrt{2}$ , válida cuando $Z_1,Z_2\sim N(0,1)$ e independiente, para demostrar que los momentos $\nu_n$ de $Z_1$ satisfacen la misma recurrencia en $(*)$ . Por lo tanto, una prueba por inducción muestra $\mu_n=\nu_n$ .