¿Es el mapeo $f: \mathbb{R} \rightarrow [0,1], \ x \mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{\lfloor x^n \rfloor \mod 2}{2^n}$ ¿subjetivo?

Question

¿Es el mapeo $$ f: \mathbb{R} \rightarrow [0,1], \ x \mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{\lfloor x^n \rfloor \mod 2}{2^n} $$ ¿subjetivo?

• Si no, ¿cuál es su imagen?

• En caso afirmativo, ¿qué se puede decir de las imágenes de los intervalos, además de lo obvio $f([-1,1]) = \{0,\frac{2}{3},1\}$ ?

Answer 1

Estoy de acuerdo con Johan: debería ser subjetivo. Aquí hay una prueba. Afirmo que $f([4,6])=[0,1]$ . Sea $[x,y]\subset [4,6]$ sea tal que $x^k=m$ et $y^k=m+1$ . Entonces $y^{k+1}-x^{k+1}>x(y^k-x^k)=x\geq 4$ . Lo que significa que $[x,y]$ contiene dentro de sí dos intervalos $[x',y']$ et $[y',z']$ tal que $(x')^{k+1}=m'$ , $(y')^{k+1}=m'+1$ , $(z')^{k+1}=m'+2$ . Entonces se procede recursivamente.