espacio métrico equivalente

Question

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico donde $d$ no tiene límites, es decir, $$\sup\{d(x; y) : x, y\in X\} = \infty$$ Definir una métrica acotada $p$ en $X$ tal que:

$(i).$ $f : (X, d) \rightarrow (X, p)$ , $f(x) = x$ es un homeomorfismo.

$(ii).$ $p$ y $d$ no son equivalentes.

Answer 1

Tal vez esté preguntando por (la falta de) equivalencia fuerte de las métricas? Dos métricas $d_1,d_2$ en un conjunto $X$ se llaman fuertemente equivalente si $\alpha,\beta>0$ existe tal que $$\alpha d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq \beta d_1(x,y)$$ para todos $x,y\in X$ .

Dejemos que $X=(-1,1)$ y que $d_1$ sea la métrica estándar en el intervalo $X$ . Para $x,y\in X$ dejar $d_2(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|$ . Entonces $\operatorname{id}_X\colon (X,d_1)\to (X,d_2)$ es un homeomorfismo, $d_1$ está acotado, $d_2$ no tiene límites, y las dos métricas sobre $X$ no son fuertemente equivalentes. (Además, $(X,d_2)$ es un espacio métrico completo, mientras que $(X,d_1)$ no está completo).

Answer 2

Usando la idea de la equivalencia fuerte que Michal da arriba...dado $d$ podemos definir tal $p$ por

$$p(x,y) = \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}$$