¿Raíz de la multiplicidad?

Question

Demuestre si a es una raíz de multiplicidad $n\geq 2\ $ entonces $f(a) = 0$ y $f'(a)=0.$

Estaba tratando de aprender la raíz de la multiplicidad y vi esta pregunta. Mi TA aún no la ha repasado, pero me preguntaba cómo sería esta prueba.

Obtengo multiplicidad de raíces bajo soluciones de productos en $Z_n$ sólo por leer, pero esta prueba entra en detalles.

¿Puede alguien enseñarme? Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f(x)=(x-a)^2g(x)$ y diferenciar utilizando la regla del producto.

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Añadido

Si esto es en un contexto de álgebra abstracta, como espero que sea, entonces define el derivación $D : R[x] \to R[x]$ , donde $R$ es el anillo sobre el que estás trabajando, por $$D(\sum a_nx^n ) = \sum na_nx^{n-1}$$ donde por $na_n$ Realmente quiero decir $\underbrace{a_n + a_n + \cdots + a_n}_{n\ \text{times}}$ .

Entonces demuestre que $D(fg)=fD(g)+gD(f)$ y proceder como si estuvieras haciendo cálculo. (Puede que ya hayas hecho esto en alguna parte de tu curso).

Si esto es en un contexto de cálculo, entonces ignora el párrafo anterior.

Answer 2

Esta es otra prueba de la prueba de doble raíz que va directamente al meollo de la cuestión.

$$\rm\begin{eqnarray} &&\rm\!\! (x\!-\!a)^2 |\ p(x)\!\!\!\!\!\!\!\\ \iff\ &&\rm x\!-\!a\ |\ p(x)\ &\rm and\ \ &\rm x\!-\!a\ \bigg|\ \dfrac{p(x)}{x\!-\!a}\\ \\ \iff\ &&\rm p(a) = 0 &\rm and&\rm x\!-\!a\ \bigg|\ \dfrac{p(x)-p(a)}{x\!-\!a}\ \ \left[\!\iff \color{#C00}{\dfrac{p(x)-p(a)}{x\!-\!a}\Bigg|_{\large\:x\:=\:a}} \!=\: 0\ \right] \\ \\ \iff\ &&\rm p(a) = 0 &\rm and&\rm \color{#C00}{p'(a)} = 0\end{eqnarray}$$

Answer 3

Si $a$ es una raíz de multiplicidad $\geq 2$ , entonces se puede escribir $f(x)=(x-a)^2g(x)$ (si $n>2$ entonces $g(x)$ también tendrá $(x-a)$ como factor, pero eso no es realmente importante para resolver este problema).

Utilizando la regla del producto entonces, se obtiene $f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)$ y observe que ambos $f(a)=0$ y $f'(a)=0$ .