Dejemos que $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ sea una secuencia de funciones continuas de derecha y $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ una función continua de derecha. Supongamos que existe un conjunto denso $D \subseteq [0,1]$ tal que $f_n(x) \to f(x)$ para todos $x \in D$ . ¿Se deduce que $f_n(x) \to f(x)$ para todos los puntos $x$ donde $f$ es continua?
Dejemos que $x_0 \in [0,1]$ sea un punto donde $f$ es continua. Una idea para una prueba sería dividir $|f_n(x_0) - f(x_0)| \leq |f_n(x_0) - f_n(x)| + |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f(x_0)|$ para algunos $x \in D$ . Se puede elegir $x$ de manera que ambos $|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$ (porque $f$ es continua en $x_0$ ) y $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$ para $n \geq n_0$ (porque $f_n(x) \to f(x)$ para todos $x \in D$ ). Pero, ¿por qué es posible elegir $x$ tal que la tercera desigualdad $|f_n(x_0) - f_n(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$ para todos $n \geq n_0$ ¿también se mantiene? La continuidad de la derecha no se ha utilizado hasta ahora. ¿La necesitamos? Si la continuidad a la derecha no es suficiente, entonces ¿qué pasa si todas las funciones tienen también límites a la izquierda en todas partes en $[0,1]$ ?
